Решить задачу Коши

@Kouhai · Регистрация: 24.09.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Решить ЗК
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{tt}=\Delta u+2, u(x,y,0)={x}^{2}{y}^{2},u_t(x,y,0)=y$

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u={x}^{2}{y}^{2}+yt+({x}^{2}+{y}^{2}+1){t}^{2}+\frac{1}{3}{t}^{4}$

Нужно воспользоваться формулой Пуассона, но я нигде не могу найти примеры решений конкретных задач.
В целом, во всех трех интегралах для f, фи, пси сначала делаю перенос начала координат в точку (x, y), потом перехожу к полярным координатам, но неправильно получается. Вот к примеру интеграл для f

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{t}\int_{\sqrt{{(\xi -x)}^{2}+{(\eta -y)}^{2}}<(t-\tau)}\frac{2d\xi d\eta }{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{(\xi -x)}^{2}+{(\eta -y)}^{2}}$

Переносим заменой кси штрих = кси - х и эта штрих = эта - y и вводим полярные координаты кси штрих = r cos, эта штрих = r sin
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-\tau}\int_{0}^{2\pi}\frac{\rho d\varphi d\rho d\tau }{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho}^{2}}}=2\int_{0}^{t}d\tau *arcsin(\frac{\rho }{t-\tau})$
arcsin от 0 до (t-tau)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\pi t$

Судя по ответу, правильный ответ x^2+y^2+yt

@mihailm · 14.11.2024, 22:14

Kouhai, интересно стало, где такие задачи еще дают?)
Такие уже лет 30 никто не решает, или решает?

@Kouhai · 15.11.2024, 12:34 **[ТС]**

Сообщение от mihailm

Такие уже лет 30 никто не решает, или решает?

У нас отдельный курс под эти задачи - уравнения математической физики

@mihailm · 15.11.2024, 17:09

Сообщение от Kouhai

У нас отдельный курс

а какая специальность?

@Kouhai · 15.11.2024, 19:37 **[ТС]**

Сообщение от mihailm

а какая специальность?

Прикладная математика. К слову, в интеграле I1 я потерял "ро", там ответ t^2. I2 = ty

Ilot · 18.11.2024, 08:36

Согласно формуле Пуассона:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u(x,y,t)=\frac{1}{2\pi a}{\part}_{t} \int_{{C}_{at}}^{}d\xi d\eta \frac{\varphi (\xi,\eta)}{\sqrt{{a}^{2}{t}^{2}-{(\xi -x)}^{2}-{(\eta -y)}^{2}}}+\frac{1}{2\pi a}\int_{{C}_{at}}^{}d\xi d\eta \frac{\psi (\xi,\eta)}{\sqrt{{a}^{2}{t}^{2}-{(\xi -x)}^{2}-{(\eta -y)}^{2}}}$
, где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (\xi,\eta)}={\xi }^{2}{\eta }^{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi (\xi,\eta)}=\eta$
В полярных координатах:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi = x+\rho cos \varphi$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta = y+\rho sin\varphi$
Заметим, что интеграл от нечетных тригонометрических функций равен нулю, следовательно достаточно рассмотреть интегралы не зависящие от угловой переменной (после приведения к двойным углам):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (\xi,\eta)}={\xi }^{2}{\eta }^{2}={(x+\rho cos \varphi)}^{2}{(y+\rho sin\varphi)}^{2}={x}^{2}{y}^{2}+\frac{1}{2}{\rho}^{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{1}{4}{\rho}^{4}+...$
Т.е.:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u(x,y,t)={\part}_{t}\int_{0}^{t}d\rho \frac{{x}^{2}{y}^{2}+\frac{1}{2}{\rho}^{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{1}{4}{\rho}^{4}}{\sqrt{{t}^{2}-{\rho }^{2}}}\rho +\int_{0}^{t}d\rho \frac{y\rho }{\sqrt{{t}^{2}-{\rho }^{2}}$
Таким образом все сводиться к вычислению несложных интегралов вида:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}d\rho \frac{{\rho}^{2k+1} }{\sqrt{1-{\rho }^{2}}$
Оставлю вычисления ТС. Kouhai, если возникнут проблемы - пишите.
p.s. Частное решение есть t². Неправильно вычислен интеграл:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{t-\tau}d\rho \frac{\rho}{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho }^{2}}}=-{{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho }^{2}}|}_{0}}^{1}=t-\tau\Rightarrow {I}_{1}={t}^{2}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Kouhai 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2022 Сообщений: 109

	Решить задачу Коши 14.11.2024, 21:39. Показов 1089. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Решить ЗК $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u_{tt}=\Delta u+2, u(x,y,0)={x}^{2}{y}^{2},u_t(x,y,0)=y$ Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u={x}^{2}{y}^{2}+yt+({x}^{2}+{y}^{2}+1){t}^{2}+\frac{1}{3}{t}^{4}$ Нужно воспользоваться формулой Пуассона, но я нигде не могу найти примеры решений конкретных задач. В целом, во всех трех интегралах для f, фи, пси сначала делаю перенос начала координат в точку (x, y), потом перехожу к полярным координатам, но неправильно получается. Вот к примеру интеграл для f $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{t}\int_{\sqrt{{(\xi -x)}^{2}+{(\eta -y)}^{2}}<(t-\tau)}\frac{2d\xi d\eta }{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{(\xi -x)}^{2}+{(\eta -y)}^{2}}$ Переносим заменой кси штрих = кси - х и эта штрих = эта - y и вводим полярные координаты кси штрих = r cos, эта штрих = r sin $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t-\tau}\int_{0}^{2\pi}\frac{\rho d\varphi d\rho d\tau }{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho}^{2}}}=2\int_{0}^{t}d\tau *arcsin(\frac{\rho }{t-\tau})$ arcsin от 0 до (t-tau) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I_{1}=\pi t$ Судя по ответу, правильный ответ x^2+y^2+yt 0

@mihailm 1712 / 1150 / 300 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,594
	14.11.2024, 22:14
	Kouhai, интересно стало, где такие задачи еще дают?) Такие уже лет 30 никто не решает, или решает? 0

Ilot $Эксперт по математике/физике$ 2222 / 1424 / 419 Регистрация: 16.05.2013 Сообщений: 3,639 Записей в блоге: 6
	18.11.2024, 08:36
	Сообщение было отмечено Ilot как решение Решение Согласно формуле Пуассона: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u(x,y,t)=\frac{1}{2\pi a}{\part}_{t} \int_{{C}_{at}}^{}d\xi d\eta \frac{\varphi (\xi,\eta)}{\sqrt{{a}^{2}{t}^{2}-{(\xi -x)}^{2}-{(\eta -y)}^{2}}}+\frac{1}{2\pi a}\int_{{C}_{at}}^{}d\xi d\eta \frac{\psi (\xi,\eta)}{\sqrt{{a}^{2}{t}^{2}-{(\xi -x)}^{2}-{(\eta -y)}^{2}}}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (\xi,\eta)}={\xi }^{2}{\eta }^{2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\psi (\xi,\eta)}=\eta$ В полярных координатах: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi = x+\rho cos \varphi$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta = y+\rho sin\varphi$ Заметим, что интеграл от нечетных тригонометрических функций равен нулю, следовательно достаточно рассмотреть интегралы не зависящие от угловой переменной (после приведения к двойным углам): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi (\xi,\eta)}={\xi }^{2}{\eta }^{2}={(x+\rho cos \varphi)}^{2}{(y+\rho sin\varphi)}^{2}={x}^{2}{y}^{2}+\frac{1}{2}{\rho}^{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{1}{4}{\rho}^{4}+...$ Т.е.: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u(x,y,t)={\part}_{t}\int_{0}^{t}d\rho \frac{{x}^{2}{y}^{2}+\frac{1}{2}{\rho}^{2}({x}^{2}+{y}^{2})+\frac{1}{4}{\rho}^{4}}{\sqrt{{t}^{2}-{\rho }^{2}}}\rho +\int_{0}^{t}d\rho \frac{y\rho }{\sqrt{{t}^{2}-{\rho }^{2}}$ Таким образом все сводиться к вычислению несложных интегралов вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}d\rho \frac{{\rho}^{2k+1} }{\sqrt{1-{\rho }^{2}}$ Оставлю вычисления ТС. Kouhai, если возникнут проблемы - пишите. p.s. Частное решение есть t². Неправильно вычислен интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{t-\tau}d\rho \frac{\rho}{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho }^{2}}}=-{{\sqrt{{(t-\tau)}^{2}-{\rho }^{2}}\|}_{0}}^{1}=t-\tau\Rightarrow {I}_{1}={t}^{2}$ 1

Решить задачу Коши

Решение