Приближенное решение ОДУ разложением в ряд Тейлора

@newkatenok · Регистрация: 08.10.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста разложить задачу Коши в ряд Тейлора y''=xy-y+1; y(0)=0, y'(0)=0

@cmath · 25.10.2012, 02:44

y''(0)=0*0-0+1=1
y'''=xy'+y-y'
y'''(0)=0*0-0-0=0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{IV}=xy^{''}+2y^'-y^{''}\;\;y^{IV}=0*1+2*0-1=-1$
...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y(0)+xy^'(0)+\frac{x^2}{2}y^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!}y^{(n)}(0)+...$

@newkatenok · 25.10.2012, 02:54 **[ТС]**

к сожалению, ваше сообщение мне ничем не помогло. общую формулу, которую вы мне написали, я знаю, но вот при решении ответ не сходится. поэтому мне хотелось бы увидеть конкретное разложение в ряд

@cmath · 25.10.2012, 05:43

Хех... В моём сообщении главное вот это:

Сообщение от cmath

y''(0)=0*0-0+1=1
y'''=xy'+y-y'
y'''(0)=0*0-0-0=0

У нас есть значения y'(0) и y(0), есть выражение для y''(x)=xy-y+1. Чтобы найти y''(0), надо подставить вместо х нуль (х=0), вместо у - у(0) (т.е. опять нуль). Итого y''(0)=1.
Чтобы получить выражение для y''', дифференцирую уравнение по x:
y'''=xy'+y-y'. y'(0) и y(0) уже есть. После подстановки значений получил y'''(0)=0.
Чтобы получить выражение для производной четвертого порядка, дифференцирую выражение для производной третьего порядка (см. в сообщении). Чтобы получить для пятой производной, дифференцируйте выражение для четвёртой. Потом подставляйте числовые значения. И так до тех пор, пока не получите столько членов ряда, сколько вам нужно.
4-ая частичная сумма ряда Маклорена равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_4=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}$

Добавлено через 5 минут

Сообщение от newkatenok

но вот при решении ответ не сходится

А покажите-ка, что у вас там не сходится

@newkatenok 1 / 1 / 0 Регистрация: 08.10.2012 Сообщений: 14
		1
	Приближенное решение ОДУ разложением в ряд Тейлора 25.10.2012, 02:21. Показов 2152. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста разложить задачу Коши в ряд Тейлора y''=xy-y+1; y(0)=0, y'(0)=0 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.10.2012, 02:44	2
	y''(0)=00-0+1=1 y'''=xy'+y-y' y'''(0)=00-0-0=0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^{IV}=xy^{''}+2y^'-y^{''}\;\;y^{IV}=01+20-1=-1$ ... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y(0)+xy^'(0)+\frac{x^2}{2}y^{''}(0)+...+\frac{x^n}{n!}y^{(n)}(0)+...$ 0

@newkatenok 1 / 1 / 0 Регистрация: 08.10.2012 Сообщений: 14
	25.10.2012, 02:54 [ТС]	3
	к сожалению, ваше сообщение мне ничем не помогло. общую формулу, которую вы мне написали, я знаю, но вот при решении ответ не сходится. поэтому мне хотелось бы увидеть конкретное разложение в ряд 0

@cmath 2525 / 1751 / 152 Регистрация: 11.08.2012 Сообщений: 3,349
	25.10.2012, 05:43	4
	Хех... В моём сообщении главное вот это: Сообщение от cmath y''(0)=00-0+1=1 y'''=xy'+y-y' y'''(0)=00-0-0=0 У нас есть значения y'(0) и y(0), есть выражение для y''(x)=xy-y+1. Чтобы найти y''(0), надо подставить вместо х нуль (х=0), вместо у - у(0) (т.е. опять нуль). Итого y''(0)=1. Чтобы получить выражение для y''', дифференцирую уравнение по x: y'''=xy'+y-y'. y'(0) и y(0) уже есть. После подстановки значений получил y'''(0)=0. Чтобы получить выражение для производной четвертого порядка, дифференцирую выражение для производной третьего порядка (см. в сообщении). Чтобы получить для пятой производной, дифференцируйте выражение для четвёртой. Потом подставляйте числовые значения. И так до тех пор, пока не получите столько членов ряда, сколько вам нужно. 4-ая частичная сумма ряда Маклорена равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_4=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}$ Добавлено через 5 минут Сообщение от newkatenok но вот при решении ответ не сходится А покажите-ка, что у вас там не сходится 0