Задача на закон Ома

Взял эту задачу из школьного задачника по физике Савченко.
1) Какое сопротивление r нужно присоединить к клеммам C и D, чтобы сопротивление всей цепочки между клеммами A и B не зависело от числа элементарных ячеек?
2) Полный ток в цепи равен I. Определить токи в n-ой ячейке, если цепочка сопротивлений бесконечна. Чему равно сопротивление такой цепочки?

Миниатюры

 

1

Сообщение от MickRider если цепочка сопротивлений бесконечна. Чему равно сопротивление такой цепочки?

Эххх далекая молодость! Такая задача была на поволжской студенческой олимпиаде по физике в Саратове в 1980 году.

С 1 вопросом не совсем понятно, но наверное (1+sqrt(3))*R/(2+sqrt(3)) (Почему ... станет понятно после ответов на второй вопрос)

2.Сначала определимся с эквивалентным сопротивлением бесконечной цепочки.
Так как цепочка бесконечна, то вначале ее к узлам АВ присоединим еще одну ячейку и общее сопротивление на новых узлах А'B'
останется точно прежним, так как добавление 1 к бесконечности ничего с точки зрения бесконечности не изменяет (философия жизни...).
Таким образом
Ra'b'=2R+(R*Rab)/(R+Rab)
так как Ra'b'=Rab, подставляем, преобразовываем и получаем квадратное уравнение
Rs^2-2*Rs*R-2R^2=0;
Единственный положительный корень Rs=(1+sqrt(3))*R

Ток 1 ячейки:
через 2R равен I
через R равен I/(2+sqrt(3))

Ток 2 ячейки:
через 2R равен (1+sqrt(3))*I/(2+sqrt(3))
через R равен (1+sqrt(3))*I/(2+sqrt(3))^2

Ток 3 ячейки:
через 2R равен (1+sqrt(3))^2*I/(2+sqrt(3))^2
через R равен (1+sqrt(3))^2*I/(2+sqrt(3))^3

Ток n ячейки:
через 2R равен (1+sqrt(3))^(n-1)*I/(2+sqrt(3))^(n-1)
через R равен (1+sqrt(3))^(n-1)*I/(2+sqrt(3))^n

2

Сообщение от SSC С 1 вопросом не совсем понятно, но наверное (1+sqrt(3))*R/(2+sqrt(3))

Нет!
r=(1+sqrt(3))*R

1

Сообщение от A_Santik Нет! r=(1+sqrt(3))*R

Обратите внимание, что в последней ячейке не хватает сопротивления R.
Поэтому сначала нужно достроить ячейку, а потом подключить эквивалентное сопротивление Rs=(1+sqrt(3))*R.
В итоге параллельное включение R и Rs дает (1+sqrt(3))*R/(2+sqrt(3))
Для проверки можете сосчитать сопротивление приведенной схемы при Вашем значении R1=2.7321R
Эквивалентное сопротивление получается = 2.8255R, что не равно Rs, что не соответствует поставленной задаче

Изображения

 

1

Ответы такие:
1) r=(√3-1)*R

2) I_n=I*(2-√3)^n-1 - это ток, который течёт по 2R
I_n^'=I*(2-√3)^n-1*(√3-1) - это ток, который течёт по R

0

Ну вот, 3 разных ответа получили...
Обозначим входное сопротивление из #4 Ra
Ra=2R+R||(2R+R1)
Для 2-х каскадов Rb=2R+R||Ra
Ra=Rb
Ra=2R+R||Ra
Ra=(1+sqrt(3))R
2R+R||(2R+R1)=2R+R||(1+sqrt(3))R
R||(2R+R1)=R||(1+sqrt(3))R
(2R+R1)=(1+sqrt(3))R
R1=[sqrt(3)-1]R

т.е. ответ правильный в книжке !

1

r=(√3-1)*R
и
r=(1+sqrt(3))*R/(2+sqrt(3))
это одно и тоже, можете посчитать

Токи в ветвях это тоже вопрос просто преобразования

1

Сообщение от SSC это одно и тоже, можете посчитать

Действительно! Одно и то же...

Добавлено через 3 часа 35 минут
SSC, в своё оправдание могу только сказать, что я просто не ожидал от Вас такого не оптимального (по числу арифметических операций) решения

1

0

Сообщение от SSC ...а потом стало понятно, как получить новое представление.

Ну тогда необходимо упомянуть ещё об одном правильном решении:
r=R(√3+1)(2-√3)

Добавлено через 16 минут
Заметим, что в этом решении, в отличие от решения SSC, неблагородная операция деления заменена на более кошерную операцию умножения

1