Критерий полноты подпространства

@Valeria92 · Регистрация: 25.02.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подпространство полного метрического пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в этом метрическом пространстве. Помогите, пожалуйста, найти док-во этого утверждения. Желательно в каком-нибудь учебнике.

@helter · 16.03.2015, 22:23

В Колмогорове-Фомине нет? Вообще, тут доказательство короче формулировки.

@Valeria92 · 18.03.2015, 15:49 **[ТС]**

helter, нет. Там только формулировка. Хотелось бы знать док-во. Не подскажете?

@helter · 18.03.2015, 21:07

Гм. Ну, может быть, вы хотя бы определения вспомните? Я же говорю, по сложности доказательство это почти тавтология. Там, фундаментальные последовательности...

Байт · 25.03.2015, 14:11

Valeria92, Дайте формулировку(определение) полноты и замкнутости.

@Valeria92 · 26.03.2015, 11:27 **[ТС]**

helter, Байт,
Ну вот вроде доказала...
=> Пусть (Xn) - фундаментальная последовательность элементов из F (под-во метрического пространства М). Тогда (Xn) фундаментальная последовательность и в M. => Xn -> X (т.к. М - полное) и Х $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ М. Т.к. F - полное, то X $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ F. А это значит, что F замкнуто (в замкнутом множестве предел последовательности принадлежит этому множеству)
<= Пусть (Xn) - фундаментальная последовательность элементов из F (под-во метрического пространства М). Тогда (Xn) фундаментальная последовательность и в M. => Xn -> X (т.к. М - полное) и Х $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ М. Т.к. F - замкнутое, то X $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ F. (в замкнутом множестве предел последовательности принадлежит этому множеству) значит F полное.
Проверьте, пожалуйста.

@helter · 26.03.2015, 13:40

Великолепно!

По <= нет замечаний.

В => немного спутанно. Я бы делал так. Хотим доказать замкнутость, поэтому изначально берём сходящуюся последовательность {Xn}, Xn ∈ F, Xn → X, и требуется доказать, что X ∈ F. Сходится ⇒ фундаментальна в F ⇒ (полнота) сходится в F, т. е. имеет предел, принадлежащий F. Но этот предел - как раз Х.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .

@Valeria92 5 / 5 / 0 Регистрация: 25.02.2015 Сообщений: 33

	Критерий полноты подпространства 16.03.2015, 15:16. Показов 4095. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Подпространство полного метрического пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в этом метрическом пространстве. Помогите, пожалуйста, найти док-во этого утверждения. Желательно в каком-нибудь учебнике. 1

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	16.03.2015, 22:23
	В Колмогорове-Фомине нет? Вообще, тут доказательство короче формулировки. 1

@Valeria92 5 / 5 / 0 Регистрация: 25.02.2015 Сообщений: 33
	18.03.2015, 15:49 [ТС]
	helter, нет. Там только формулировка. Хотелось бы знать док-во. Не подскажете? 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	18.03.2015, 21:07
	Гм. Ну, может быть, вы хотя бы определения вспомните? Я же говорю, по сложности доказательство это почти тавтология. Там, фундаментальные последовательности... 1

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	25.03.2015, 14:11
	Valeria92, Дайте формулировку(определение) полноты и замкнутости. 1

@Valeria92 5 / 5 / 0 Регистрация: 25.02.2015 Сообщений: 33
	26.03.2015, 11:27 [ТС]
	helter, Байт, Ну вот вроде доказала... => Пусть (Xn) - фундаментальная последовательность элементов из F (под-во метрического пространства М). Тогда (Xn) фундаментальная последовательность и в M. => Xn -> X (т.к. М - полное) и Х $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ М. Т.к. F - полное, то X $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ F. А это значит, что F замкнуто (в замкнутом множестве предел последовательности принадлежит этому множеству) <= Пусть (Xn) - фундаментальная последовательность элементов из F (под-во метрического пространства М). Тогда (Xn) фундаментальная последовательность и в M. => Xn -> X (т.к. М - полное) и Х $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ М. Т.к. F - замкнутое, то X $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\in$ F. (в замкнутом множестве предел последовательности принадлежит этому множеству) значит F полное. Проверьте, пожалуйста. 3

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	26.03.2015, 13:40
	Сообщение было отмечено Valeria92 как решение Решение Великолепно! По <= нет замечаний. В => немного спутанно. Я бы делал так. Хотим доказать замкнутость, поэтому изначально берём сходящуюся последовательность {Xn}, Xn ∈ F, Xn → X, и требуется доказать, что X ∈ F. Сходится ⇒ фундаментальна в F ⇒ (полнота) сходится в F, т. е. имеет предел, принадлежащий F. Но этот предел - как раз Х. 2

Критерий полноты подпространства

Решение