Объединение двух ограниченных множеств ограничено

@sofiyaswim · Регистрация: 11.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пусть множества А и В ограничены в метрическом пространстве Х. Докажите, что множество АUВ так же ограничено в Х.
(Под заданием даны 2 определения:
1. Точку х из Х называют точкой прикосновения множества М включ. в Х, если любая ее Е-окрестность содержит хотя бы одну точку из М.
2. Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначают символом М(с чертой) и называют замыканием этого множества.)
Подскажите пожалуйста, как доказать? Можно ли это сделать через данные определения?

@3D Homer · 27.05.2016, 21:06

Вам нужно использовать определение ограниченного множества. Приведенные вами определения, наверное, используются в следующих задачах.

@helter · 28.05.2016, 14:19

Если нарисуете картинку, станет ясно, что если первое множество содержится в шаре B[x1, r1], а второе — в шаре B[x2, r2], то объединение содержится в шаре B[x1, r1 + d(x1, x2) + r2]. Доказывается с помощью неравенства треугольника.

@sofiyaswim · 02.06.2016, 14:46 **[ТС]**

Не понимаю, где именно здесь нужно использовать неравенство треугольника(( Подскажите пожалуйста.. То, что объединение будет содержаться в шаре, как Вы написали, это до меня почти сразу дошло, из самого определения ограниченного множества. А как дальше доказать - застряла

@helter · 02.06.2016, 15:34

Неравенство треугольника позволяет оценивать расстояния между точками через известные расстояния. Например, вы хотите оценить расстояние от центра первого шара до точки из второго шара. Для этого вы сначала идёте от центра первого шара до центра второго, а потом от центра второго — до точки. Получается оценка.

У вас будут две оценки: расстояния от центра первого шара до любой точки первого шара и расстояние от центра первого шара до любой точки второго шара. Если получить ещё одну оценку сложением правых частей, то первые две только огрубятся, то есть получится оценка от центра первого шара до любой точки одного из двух шаров. Либо можно не складывать, а брать максимум правых частей.

Попробуйте что-нибудь написать, чтобы было понятно, в чём ваша проблема.

@sofiyaswim · 02.06.2016, 16:09 **[ТС]**

HTML5
1
<a target="_blank" href="http://***********"><img src="http://i77.***********/big/2016/0602/27/7e86d6aedc29a669342bffb10dba7827.jpg" border="0"></a>

Вот все, что могу написать..

Добавлено через 9 минут
Блин, не получается фото выслать, в общем:
Множество А наз-ся ограниченным в метрическом пространстве Х, если существует открытый шар, целиком содержащий множество А.
Открытым шаром радиуса r с центром в точке а принадл. Х, называется множество таких точек х принадл. Х, что: В₀(а, r) = {x принадл. Х: расст.(а,х)<r}
В таком случае, у нас имеется 2 открытых шара, каждый из которых целиком содержит множество А, или В, соответственно.
Пусть А содержится в В0(a, r1) и В содержится в B0(b, r2). Тогда, как вы сказали, объединение двух множеств содержится в открытом шаре B0[а, r1 + расст(а, b) + r2] по неравенству треугольника. Но почему так, все равно не могу понять. Допустим, возьмем максимум[r1, r2]=r, и что нам это может дать?

@helter · 02.06.2016, 16:58

Ну ладно, попробуем так.

Вам нужно получить оценку вида d(a, x) <= C для всех точек x объединения с любой константой C. Это понятно?

@sofiyaswim · 02.06.2016, 17:02 **[ТС]**

да, d-расстояние?

@helter · 02.06.2016, 18:09

Сообщение от sofiyaswim

да, d-расстояние?

Ага.

Не по теме:

Печатать легче. У англосаксов это стандартная буква для расстояния.

Всё объединение лежит в двух шарах, пусть B(a, r1) и B(b, r2). (Обычно с ограниченностью рассматривают замкнутые шары, но непринципиально.) Можете написать оценку нужного вида для точек объединения, лежащих в первом шаре? (Это до глупости просто.)

@sofiyaswim · 02.06.2016, 22:11 **[ТС]**

не совсем понимаю, что такое оценка? но если это то, что я думаю, то d(a,b)? Ну это по аналогии..

@3D Homer · 02.06.2016, 22:24

Верхняя (нижняя) оценка на величину x — это другая (обычно более простая или постоянная) величина y, для которой выполняется неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\le y$ (соответственно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\ge y$ ).

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(a,r_1)$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_1\le r_1+r_2+d(a,b)$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(b,r_2)$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le d(x,b)+d(b,a)$ по неравенству треугольника, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_2+d(a,b)\le r_1+r_2+d(a,b)$ . Итак, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_1+r_2+d(a,b)$ для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(a,r_1)\cup B(b,r_2)$ . Заметим, что можно взять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max(r_1,r_2)$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r_1+r_2$ .

@sofiyaswim · 02.06.2016, 22:32 **[ТС]**

Так дошло до меня, бестолоча) Спасибо Вам огромное, 3D Homer и helter, не представляю, что бы сейчас без вас делала(( уже дней 5 не могла решить, очень выручили!! Попробую преподу-тирану в таких терминах передать изложенное))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .

@sofiyaswim 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.05.2015 Сообщений: 15

	Объединение двух ограниченных множеств ограничено 27.05.2016, 13:47. Показов 4677. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Пусть множества А и В ограничены в метрическом пространстве Х. Докажите, что множество АUВ так же ограничено в Х. (Под заданием даны 2 определения: 1. Точку х из Х называют точкой прикосновения множества М включ. в Х, если любая ее Е-окрестность содержит хотя бы одну точку из М. 2. Совокупность всех точек прикосновения множества М обозначают символом М(с чертой) и называют замыканием этого множества.) Подскажите пожалуйста, как доказать? Можно ли это сделать через данные определения? 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	27.05.2016, 21:06
	Вам нужно использовать определение ограниченного множества. Приведенные вами определения, наверное, используются в следующих задачах. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	28.05.2016, 14:19
	Если нарисуете картинку, станет ясно, что если первое множество содержится в шаре B[x1, r1], а второе — в шаре B[x2, r2], то объединение содержится в шаре B[x1, r1 + d(x1, x2) + r2]. Доказывается с помощью неравенства треугольника. 1

@sofiyaswim 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.05.2015 Сообщений: 15
	02.06.2016, 14:46 [ТС]
	Не понимаю, где именно здесь нужно использовать неравенство треугольника(( Подскажите пожалуйста.. То, что объединение будет содержаться в шаре, как Вы написали, это до меня почти сразу дошло, из самого определения ограниченного множества. А как дальше доказать - застряла 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	02.06.2016, 15:34
	Неравенство треугольника позволяет оценивать расстояния между точками через известные расстояния. Например, вы хотите оценить расстояние от центра первого шара до точки из второго шара. Для этого вы сначала идёте от центра первого шара до центра второго, а потом от центра второго — до точки. Получается оценка. У вас будут две оценки: расстояния от центра первого шара до любой точки первого шара и расстояние от центра первого шара до любой точки второго шара. Если получить ещё одну оценку сложением правых частей, то первые две только огрубятся, то есть получится оценка от центра первого шара до любой точки одного из двух шаров. Либо можно не складывать, а брать максимум правых частей. Попробуйте что-нибудь написать, чтобы было понятно, в чём ваша проблема. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	02.06.2016, 16:58
	Ну ладно, попробуем так. Вам нужно получить оценку вида d(a, x) <= C для всех точек x объединения с любой константой C. Это понятно? 0

@sofiyaswim 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.05.2015 Сообщений: 15
	02.06.2016, 17:02 [ТС]
	да, d-расстояние? 0

@sofiyaswim 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.05.2015 Сообщений: 15
	02.06.2016, 22:11 [ТС]
	не совсем понимаю, что такое оценка? но если это то, что я думаю, то d(a,b)? Ну это по аналогии.. 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	02.06.2016, 22:24
	Верхняя (нижняя) оценка на величину x — это другая (обычно более простая или постоянная) величина y, для которой выполняется неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\le y$ (соответственно, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\ge y$ ). Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(a,r_1)$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_1\le r_1+r_2+d(a,b)$ . Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(b,r_2)$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le d(x,b)+d(b,a)$ по неравенству треугольника, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_2+d(a,b)\le r_1+r_2+d(a,b)$ . Итак, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?d(x,a)\le r_1+r_2+d(a,b)$ для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in B(a,r_1)\cup B(b,r_2)$ . Заметим, что можно взять $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max(r_1,r_2)$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?r_1+r_2$ . 1

@sofiyaswim 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.05.2015 Сообщений: 15
	02.06.2016, 22:32 [ТС]
	Так дошло до меня, бестолоча) Спасибо Вам огромное, 3D Homer и helter, не представляю, что бы сейчас без вас делала(( уже дней 5 не могла решить, очень выручили!! Попробую преподу-тирану в таких терминах передать изложенное)) 0