Гипербола

@proggamer12 · Регистрация: 06.07.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
Как доказать, что уравнением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2\,xy+3\,{y}^{2}+4\,x-4=0$ описывается гипербола?

Заранее благодарен,
proggamer12

@Alamira · 25.12.2014, 20:54

А в этом уравнении, ну совершенно случайно, второй степени х не было?

@proggamer12 · 25.12.2014, 21:15 **[ТС]**

Потому и спрашиваю, что не было...

Но Maple четко рисует гиперболу

@VSI · 25.12.2014, 21:42

Сообщение от proggamer12

Но Maple четко рисует гиперболу

Разве? Синяя - гипербола, красная - Ваша...
> restart;
> a:=plots[implicitplot](-2*x*y+3*y^2+4*x-4=0, x=-5..5, y=-5..5, color=red, thickness=2, grid=[150,150]):
> b:=plot(1/x,x=-5..5, y=-5..5, color=blue, thickness=2, discont=true):
> plots[display](a,b);

@cmath · 26.12.2014, 14:25

Сообщение от proggamer12

Как доказать, что уравнением

Никак. Ибо это уравнение параболы.
***
Общий вид кривых второго порядка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
Есть такое правило:
1. Если A * C > 0 - уравнение эллипса;
2. Если A * C < 0 - уравнение гиперболы;
3. Если A * C = 0 (причем либо A, либо C не равно нулю)- уравнение параболы.
У вас коэффициент A = 0 и C = 3, поэтому A * C = 0 ну и вывод отсюда....

@kabenyuk · 26.12.2014, 15:19

Сообщение от cmath

ну и вывод отсюда.

И все-таки,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2xy+3y^2+4x-4=3\left(\frac{1}{3}x-y\right)^2-\frac{1}{3}(x-6)^2+8.$

@cmath · 26.12.2014, 16:21

kabenyuk, действительно) Вынужден извиняться. Правило мое работает только при B = 0. Произведение xy я не учел. Просим пардону...

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от proggamer12

Как доказать, что уравнением

Тогда, по хорошему, надо исследование по всей форме проводить. Найти базис, в котором ваше уравнение "избавится" от произведения x*y.

Добавлено через 46 минут
Начнем-с:
1. Выпишем квадратичную форму: - 2xy+3y²
2. Запишем соответствующую форме матрицу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 3\end{pmatrix}$
3. Найдем собственные числа и векторы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda _{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1=\begin{pmatrix}\frac{3-\sqrt{13}}{2}\\ 1\end{pmatrix},\;X_2=\begin{pmatrix}1\\ \frac{\sqrt{13}-3}{2}\end{pmatrix}$
4. Нормализуем собственные векторы и составим ортогональную матрицу из них (так, чтобы определитель полученной матрицы был равен единице):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?U=\sqrt{\frac{2}{13-3\sqrt{13}}}\begin{pmatrix}1 & \frac{3-\sqrt{13}}{2}\\ \frac{\sqrt{13}-3}{2} & 1\end{pmatrix}$
5. Получим новый базис E[new], причем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E_{old}=U\cdot E_{new}$
6. Используем полученное:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2xy+3y^2+4x-4=-2\cdot \frac{2}{13-3\sqrt{13}}\cdot(\frac{\sqrt{13}-3}{2}x_1^2+x_1y_1-\frac{(\sqrt{13}-3)^2}{4}x_1y_1-\frac{\sqrt{13}-3}{2}y_1^2)+3\cdot \frac{2}{13-3\sqrt{13}}\cdot(\frac{(\sqrt{13}-3)^2}{4}x_1^2+(\sqrt{13}-3)x_1y_1+y_1^2)+4\cdot \sqrt{\frac{2}{13-3\sqrt{13}}} \cdot(x_1-\frac{\sqrt{13}-3}{2}y_1)-4$
хух)
Если последнее упростить дальше, то получим уравнение вида Ax2+By2+Cx+Dy+F=0, причем A не ноль и B не ноль (эт точно ужо

). В общем, исправился я, от xy избавился (эт я тож проверил, что точно избавился от xy в результате этих хитрых манипуляций

). Дальше сами все упростите и перемножите A*B для проверки, чтоб AB<0 получилось. График тож сами как-нибудь))) А хотя.... Картинка от вольфрама
Удачи вам в этом нелегком труде))))

Добавлено через 4 минуты
P.S. Если не лень, то из матрицы U можете получить угол поворота))

@kabenyuk · 26.12.2014, 19:26

cmath, но для доказательства того, что эта кривая - гипербола, мне кажется не надо таких тяжелых выкладок.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Программа принимает математическое выражение в виде строки и выдаёт его производную в виде строки и вычисляет значение производной при заданном х Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) -. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@proggamer12 17 / 17 / 4 Регистрация: 06.07.2012 Сообщений: 510

	Гипербола 25.12.2014, 17:37. Показов 1568. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Как доказать, что уравнением $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-2\,xy+3\,{y}^{2}+4\,x-4=0$ описывается гипербола? Заранее благодарен, proggamer12 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	25.12.2014, 20:54
	А в этом уравнении, ну совершенно случайно, второй степени х не было? 1

@proggamer12 17 / 17 / 4 Регистрация: 06.07.2012 Сообщений: 510
	25.12.2014, 21:15 [ТС]
	Потому и спрашиваю, что не было... Но Maple четко рисует гиперболу 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	26.12.2014, 19:26
	cmath, но для доказательства того, что эта кривая - гипербола, мне кажется не надо таких тяжелых выкладок. 0