Написать уравнение плоскости в тетраэдре

Очень и срочно нужна помощь с объяснением. Может ли кто помочь? Для тетраэдра ABCD с координатами своих вершин: A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;5;0), D(3;1;4)
1)написать уравнение плоскости ABD.
2)написать уравнение плоскости, проходящей через вершину А и параллельной грани ВСD.
3)найти проекцию прямой CD на плоскость ABD.
4)составить уравнение общего перпендикуляра к прямым AB и CD.
5)найти расстояние от точки D до прямой AB.
5)найти точку, симметричную середине ребра BC относительно прямой AB.

0

1) Если - текущая точка плоскости, то нужно записать через определитель 3- го порядка условие, что векторы компланарны. Получаете . Раскладываете определитель по 1-й строке и получаете уравнение
2) Точно так же делаете, только для векторов , ответ
3) Если вектор нормали к плоскости ABD обозначить , то направляющий вектор искомой прямой будет пропорционален двойному векторному произведению . Вам бы рисунок сделать, чтобы увидеть это... Внутреннее векторное произведение - это вектор в плоскости ABD и искомой прямой. Умножив его векторно на нормаль, получаем направляющий вектор.
Вектор нормали был уже найден в пункте а):
Посчитайте двойное векторное произведение и получите направляющий вектор искомой прямой , а поскольку искомая прямая проходит через точку D, то получаем уравнение искомой прямой в каноническом виде

Добавлено через 18 часов 18 минут
4) Для начала найдём направляющий вектор искомой прямой. Он пропорционален векторному произведению . Можно взять .
Далее нужно записать уравнения прямых AB,CD в параметрическом виде с разными свободными переменными u,v и найти такую пару значений этих переменных u,v, чтобы вектор, соединяющий точки данных прямых при таких значениях, был бы пропорционален только что найденному направляющему вектору. Прямая AB: , прямая CD: . Получаем условия для нахождения u,v:
Из 2-го равенства (которое не содержит u), находим v=5/4.
В 1-й дроби, так как её знаменатель равен 0, то и числитель тоже равен 0, и уже зная v, находим u=9/4.
Иными словами, искомый общий перпендикуляр пересекает прямую AB в точке , а прямую CD в точке
Зная направляющий вектор и точку, записываем уравнение этого общего перпендикуляра

Добавлено через 24 минуты
5) Построим параллелограмм на смежных векторах . Площадь этого параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов (только векторное произведение уже нельзя сокращать на общий множитель, как в пункте а) ), а основание - длине . Отношение площади к длине основания даст высоту параллелограмма из точки D на основание AB - то, что вам нужно. Вот посчитайте это сами, ответ должен выйти .

Добавлено через 13 часов 13 минут
6) - последние конвульсии по этой объёмной задаче... Нарисуйте рисунок - прямая через А и В, точка Р - середина ребра, точка S - симметричная точке Р относительно прямой АВ.
Спроектируйте вектор АР на прямую АВ. Проекция Р на АВ пусть будет точка В1. Тогда вектор . Чтобы получить точку S, вам нужно от точки Р отложить удвоенный вектор , т.е. к координатам точки Р прибавить координаты . Это идея.
Реализация:
- координаты точки Р - среднее арифметическое координат точек В и С, т.е.
- вектор
- проекция - это отрезок АВ1 (со знаком + или -), а нам нужен вектор АВ1. Вектор (умножаем орт вектора АВ на проекцию). Тогда если от точки Р отложить вектор , получаем искомую точку S.
Считаем:
- прибавляем эти координаты к точке Р и получаем ответ

1