Пересечение окружности с несколькими и дополнительными условиями

@Excalibur921 · Регистрация: 12.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пересечение окружности с несколькими и дополнительными условиями.
Даны 5 пронумерованных окружностей N0,N1,N2,N3,N4 одинакового известного радиуса (красные).
Найти такую окружность (зеленая)чтобы:
-пересекала все 5 окружностей последовательно по убыванию или возрастанию номера
например: пересекала N0,N1,N2,N3,N4 один раз каждую.
-найденные точки пересечения имеют максимально равномерное распределение на половине окружности( шаг между ними максимально близкий к 45 градусам).

Вот пример:
Даны 5 красных найти зеленую.

Как наверно решать:
точки пересечения окружностей это системы линейных уравнений
А само решение это нелинейное, т.е. нужно перебирать все варианты? Написать критерий оценки "равномерность точек на половине окружности"
и минимизировать.
Есть ли альтернатива?

@SSC · 20.01.2016, 10:58

Сообщение от Excalibur921

точки пересечения окружностей это системы линейных уравнений

Нелинейных, точнее квадратичных.
Две окружности имеют 2, 1, 0 точек пересечения
Отсюда, использовать только первую (как у Вас), или любую точку пересечения?

@Excalibur921 · 20.01.2016, 13:28 **[ТС]**

Нет, точки пересечения есть всегда.
Видимо первую, а если все вторые будет более лучшее решение? А может и любые только брать одну точку с окружности и чтобы было лучше "равномерность точек на половине окружности".
Наверно для упрощения лучше принять всегда первую точку…

@Excalibur921 · 20.01.2016, 14:55 **[ТС]**

Похоже вот более адекватная схема к задаче.

Радиус красных одинаковый и задан.
Найти такие пять углов Xn ( от 45 до 75 градусов к примеру) чтобы зеленая окружность пересекала все 5 красных один раз, и точки пересечения были последовательно по убыванию или возрастанию номера окружности N0,N1 и т.д. с шагом максимально близким к 45 градусам.

Может двигать “окружность построенную по 3 точкам” на окружностях N0,N2,N4?
Дело в том , что я не знаю какие углы брать x0,x2,x4. Или это перебором?
Зная центр и радиус найти как далеко от эталона C1…Cn. Эталон положения Cn найти зная C0, радиус и центр кандидата на зеленую окружность и через “cos(45град)* радиус_зелен_кандидата” и т.д. найти разность углов Cn и CnEtalon.Сложить 5 отклонений будет целевая функция для минимизации?
Или не так? Как такое решить? Можно ли проще?

@Excalibur921 · 20.01.2016, 16:42 **[ТС]**

Во второй схеме с углами Xn есть аналитическое решение. Тогда остается задача с первой схемы. Известны центры и радиусы пяти красных окружностей, найти зеленую.

Возможно изменить ее если поможет, например радиусы красных окружностей равные но не известные в интервале от min0 до max0(заданы).

@SSC · 21.01.2016, 10:59

Дайте координаты точек центров 5 окружностей и их радиус как в #4, для тестирования алгоритма.
А то имею вот такое решение (на зеленый кружок не обращать внимание, это стартовая точка поиска решения)

@SSC · 21.01.2016, 11:57

Удалось получить такое

@Excalibur921 · 21.01.2016, 14:21 **[ТС]**

Сообщение от SSC

Дайте координаты точек центров 5 окружностей и их радиус как в #4, для тестирования алгоритма.

Та картинка не эталон, построена наглаз. Я думал вы на словах скажете что то по алгоритму поиска, таки искали численно? Это только так и можно решить? Это Exel?

@SSC · 21.01.2016, 14:56

Это MATLAB.
Решение ищется путем поиска оптимума функции цели от 3 параметров, x y и R маленькой окружности.
В решении находятся точки пересечения этой окружности с 5-ю базавыми окружностями. Используется первая точка пересечения (это крайне неправильно, но как делать подругому пока не понятно и может у Вас есть какое-то физическое обоснование этого ограничения). Далее находятся 5 направлений на точки пересечения, по ним 4-ре угла между направлениями. Сумма квадратов отклонений углов от pi/4 это ошибка, которая в общем минимизируется. В случае если с какой-то окружностью нет пересечения в функцию ошибки вносятся штраф.
Решение которое находится сильно зависит от стартовой точки, она должна быть где-то рядом с искомым решением. В стартовой точке искомая окружность должна иметь пересечения со всеми 5 огружностями, иначе решение не втягивается в нужную область. Очеводно что есть несколько достаточно хороших решений, но алгоритм двигается к некоторому рядом расположенному.
Ниже на картинке еще один вариант решения, с теми же исходными данными но другой стартовой точкой

@SSC · 21.01.2016, 15:08

Еще интересное решение

@Excalibur921 · 21.01.2016, 15:37 **[ТС]**

Никогда с матлабом не работал. Наверно он заточен под такие задачи?

Сообщение от SSC

x y и R маленькой окружности

Т.е, подбором x y R?
А если:
С0 до Сn точки пересечения на зеленой.
C0=cos(alfa0)*Rкрасной, sin(alfa0)*Rкрасной подбор alfa0
C4=cos(alfa4)*Rкрасной, sin(alfa4)*Rкрасной подбор alfa4
Центр кандидата на зеленую, центр отрезка C0 C4.
Тогда 2 точки пересечения найдены сразу, остается найти погрешность углов C1,C2,C3.

Наверно ошибка в том что оценивается сумма погрешностей, отсюда 2 идеально 3 ужасно. А нужно чтобы каждая точка пересечения была как можно ближе к 45 градусам а не суммарная ошибка.

@SSC · 21.01.2016, 15:50

MATLAB математический пакет, поэтому условно заточен под все.
Используется функция поиска оптимума от 3 переменных со стартовой точкой.
Главное хорошая функция цели.
Здесь пытался использавать примерно следующее
Cel = (alf12-45)^2 + (alf23-45)^2 + (alf34-45)^2 + (alf45-45)^2
Плюс штрафы если пересечения с какой-то окружностью нет.
В итоге каждый угол стремиться к 45, если это возможно.

А физика процесса какая-то есть? Для чего задача?

@Excalibur921 · 21.01.2016, 16:44 **[ТС]**

Это попытка синтеза плоского механизма указав 5 точек на траектории.
Изначально вот такой схемы. Сейчас траектория и скорость на ней неправильные.

Задача попробовать синтезировать его так, чтобы он описывал траекторию с плоским участком при повороте каждого кривошипа на 180 градусов.
Я выбрал 5 точек на прямой.
В итоге траекторию хочу наподобие такой:

Если в лоб то мне кажется тут 20 (10 x 10 y) параметров оптимизации. Неизвестны все координаты шарниров. Поэтому хочу попробовать синтезировать его по 5 точкам на прямой хотя бы. Чтобы не искать их а фактически грубо указать, а потом уже можно будет локально оптимизировать ( наверно).
Мне кажется 20 нелинейных параметров это очень много. Пробовал синтез на 3 точках то траектория вихляет, и решал поиск зеленой окружности вручную. Думал сделать автоматически. Как видите эта задача первого поста только 1/3 всей. Но другие две тоже самое практически. В итоге думал сведется к подбору 6 параметров а не 20 и к приближенному результату.

@Excalibur921 · 21.01.2016, 18:58 **[ТС]**

Может правильно ввести ограничение на min max радиус зеленой окружности?
Понятия не имею какие брать…
Но это сильно поможет перебору.

В итоге первая точка зеленой окружности C0 будет в точке A, вторая будет на фиолетовых дугах и определит диаметр зеленой. Перебрать через sin cos параметрич. формулу окружности N4. И минимизировать максимальную ошибку углов из С1,C2,C3.

@Excalibur921 · 17.05.2016, 14:05 **[ТС]**

Придумал упрощение.

Клик ан анимашке.

Кликните здесь для просмотра всего текста

Красные окружности с центром a0,b0,c0,d0,e0 одинакового радиуса.
a0,e0 пунктирные, на них точки A,B оранжевые.
По точкам A,B строим черную окружность центр f0.
На черной окружности есть 3 голубые точки с шагом 45 град от точки A(эталон1).Тоже самое зеленые (эталон2) точки на другой полуплоскости от AB.
Фиолетовые это точки пересечения черной окружности f0 с тремя красными окружностями(b0,c0,d0).
Каждой точке пересечения соответствует свой порядковый номер эталона положения.
Черная пересекает красные по порядку (b0,c0,d0) или (d0,c0,b0).

Вопрос:
Найти такие A,B(сейчас таскаю вручную) чтобы на черной окружности фиолетовые точки были на минимальном расстоянии от голубых либо зеленых? (два решения).

Это аналитически можно решить? В Интернете попадались минимум двух переменных сводили к уравнениям, тут же все окружности на плоскости. Или только численно?

@Excalibur921 · 21.05.2016, 16:26 **[ТС]**

Почему никто не отвечает =(. Плохо описал? Вроде доступно и анимашка есть… Я вижу только разряженный брутофорс поиск минимума. Может в этой упрощенной постановке есть аналитическое решение?

@Nacuott · 21.05.2016, 19:18

Excalibur921, Вы метод Дагилева освоили?

@Excalibur921 · 21.05.2016, 22:03 **[ТС]**

Не собирался. Есть много разных. Значит только численно?

@Nacuott · 22.05.2016, 00:13

А Вы в интернете русскоязычном лучшее, чем делал Иванов А.Б. (ник. алексей-алексей) и его последователи видели?
- Нет.!
Так что осваивайте метод Драгилева.
Правда, Иванов куда-то пропал.
И сайт exponenta.ru , где Иванов выставлял свои работы скис.

@Excalibur921 · 22.05.2016, 10:06 **[ТС]**

Сообщение от Nacuott

видели?
- Нет.!

Раньше вас видел. Там даже мои анимашки есть. Он и появился тут из за моих тем. На яблоках не хотел объяснить… я и забил =). Просил…ну напиши для первоклассников… не хочет, да и зачем ему?
На научном форуме его заклевали, видимо у профи есть давно известные приемы из старой школы.
И примеры у него не все нелинейные системы даже мне очевидные, что говорить о профи…
Уверен он опять тут сейчас\позже придет с левым ником и опять прорекламирует свой метод.

Задача синтез механизма по траектории хотя бы прямого участка кривой из 5 точек и если автоматизирую добавлю на криволинейном участке траектории точки.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456

	Пересечение окружности с несколькими и дополнительными условиями 20.01.2016, 01:26. Показов 1362. Ответов 23 Метки нет (Все метки) Пересечение окружности с несколькими и дополнительными условиями. Даны 5 пронумерованных окружностей N0,N1,N2,N3,N4 одинакового известного радиуса (красные). Найти такую окружность (зеленая)чтобы: -пересекала все 5 окружностей последовательно по убыванию или возрастанию номера например: пересекала N0,N1,N2,N3,N4 один раз каждую. -найденные точки пересечения имеют максимально равномерное распределение на половине окружности( шаг между ними максимально близкий к 45 градусам). Вот пример: Даны 5 красных найти зеленую. Как наверно решать: точки пересечения окружностей это системы линейных уравнений А само решение это нелинейное, т.е. нужно перебирать все варианты? Написать критерий оценки "равномерность точек на половине окружности" и минимизировать. Есть ли альтернатива? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	20.01.2016, 13:28 [ТС]
	Нет, точки пересечения есть всегда. Видимо первую, а если все вторые будет более лучшее решение? А может и любые только брать одну точку с окружности и чтобы было лучше "равномерность точек на половине окружности". Наверно для упрощения лучше принять всегда первую точку… 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	20.01.2016, 14:55 [ТС]
	Похоже вот более адекватная схема к задаче. Радиус красных одинаковый и задан. Найти такие пять углов Xn ( от 45 до 75 градусов к примеру) чтобы зеленая окружность пересекала все 5 красных один раз, и точки пересечения были последовательно по убыванию или возрастанию номера окружности N0,N1 и т.д. с шагом максимально близким к 45 градусам. Может двигать “окружность построенную по 3 точкам” на окружностях N0,N2,N4? Дело в том , что я не знаю какие углы брать x0,x2,x4. Или это перебором? Зная центр и радиус найти как далеко от эталона C1…Cn. Эталон положения Cn найти зная C0, радиус и центр кандидата на зеленую окружность и через “cos(45град)* радиус_зелен_кандидата” и т.д. найти разность углов Cn и CnEtalon.Сложить 5 отклонений будет целевая функция для минимизации? Или не так? Как такое решить? Можно ли проще? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	20.01.2016, 16:42 [ТС]
	Во второй схеме с углами Xn есть аналитическое решение. Тогда остается задача с первой схемы. Известны центры и радиусы пяти красных окружностей, найти зеленую. Возможно изменить ее если поможет, например радиусы красных окружностей равные но не известные в интервале от min0 до max0(заданы). 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.01.2016, 10:59
	Дайте координаты точек центров 5 окружностей и их радиус как в #4, для тестирования алгоритма. А то имею вот такое решение (на зеленый кружок не обращать внимание, это стартовая точка поиска решения) Миниатюры 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.01.2016, 11:57
	Удалось получить такое Миниатюры 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.01.2016, 14:56
	Это MATLAB. Решение ищется путем поиска оптимума функции цели от 3 параметров, x y и R маленькой окружности. В решении находятся точки пересечения этой окружности с 5-ю базавыми окружностями. Используется первая точка пересечения (это крайне неправильно, но как делать подругому пока не понятно и может у Вас есть какое-то физическое обоснование этого ограничения). Далее находятся 5 направлений на точки пересечения, по ним 4-ре угла между направлениями. Сумма квадратов отклонений углов от pi/4 это ошибка, которая в общем минимизируется. В случае если с какой-то окружностью нет пересечения в функцию ошибки вносятся штраф. Решение которое находится сильно зависит от стартовой точки, она должна быть где-то рядом с искомым решением. В стартовой точке искомая окружность должна иметь пересечения со всеми 5 огружностями, иначе решение не втягивается в нужную область. Очеводно что есть несколько достаточно хороших решений, но алгоритм двигается к некоторому рядом расположенному. Ниже на картинке еще один вариант решения, с теми же исходными данными но другой стартовой точкой Миниатюры 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.01.2016, 15:08
	Еще интересное решение Миниатюры 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	21.01.2016, 15:50
	MATLAB математический пакет, поэтому условно заточен под все. Используется функция поиска оптимума от 3 переменных со стартовой точкой. Главное хорошая функция цели. Здесь пытался использавать примерно следующее Cel = (alf12-45)^2 + (alf23-45)^2 + (alf34-45)^2 + (alf45-45)^2 Плюс штрафы если пересечения с какой-то окружностью нет. В итоге каждый угол стремиться к 45, если это возможно. А физика процесса какая-то есть? Для чего задача? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	21.01.2016, 16:44 [ТС]
	Это попытка синтеза плоского механизма указав 5 точек на траектории. Изначально вот такой схемы. Сейчас траектория и скорость на ней неправильные. Задача попробовать синтезировать его так, чтобы он описывал траекторию с плоским участком при повороте каждого кривошипа на 180 градусов. Я выбрал 5 точек на прямой. В итоге траекторию хочу наподобие такой: Если в лоб то мне кажется тут 20 (10 x 10 y) параметров оптимизации. Неизвестны все координаты шарниров. Поэтому хочу попробовать синтезировать его по 5 точкам на прямой хотя бы. Чтобы не искать их а фактически грубо указать, а потом уже можно будет локально оптимизировать ( наверно). Мне кажется 20 нелинейных параметров это очень много. Пробовал синтез на 3 точках то траектория вихляет, и решал поиск зеленой окружности вручную. Думал сделать автоматически. Как видите эта задача первого поста только 1/3 всей. Но другие две тоже самое практически. В итоге думал сведется к подбору 6 параметров а не 20 и к приближенному результату. 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	21.05.2016, 19:18
	Excalibur921, Вы метод Дагилева освоили? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	21.01.2016, 18:58 [ТС]
	Может правильно ввести ограничение на min max радиус зеленой окружности? Понятия не имею какие брать… Но это сильно поможет перебору. В итоге первая точка зеленой окружности C0 будет в точке A, вторая будет на фиолетовых дугах и определит диаметр зеленой. Перебрать через sin cos параметрич. формулу окружности N4. И минимизировать максимальную ошибку углов из С1,C2,C3. 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	17.05.2016, 14:05 [ТС]
	Придумал упрощение. Клик ан анимашке. Кликните здесь для просмотра всего текста Красные окружности с центром a0,b0,c0,d0,e0 одинакового радиуса. a0,e0 пунктирные, на них точки A,B оранжевые. По точкам A,B строим черную окружность центр f0. На черной окружности есть 3 голубые точки с шагом 45 град от точки A(эталон1).Тоже самое зеленые (эталон2) точки на другой полуплоскости от AB. Фиолетовые это точки пересечения черной окружности f0 с тремя красными окружностями(b0,c0,d0). Каждой точке пересечения соответствует свой порядковый номер эталона положения. Черная пересекает красные по порядку (b0,c0,d0) или (d0,c0,b0). Вопрос: Найти такие A,B(сейчас таскаю вручную) чтобы на черной окружности фиолетовые точки были на минимальном расстоянии от голубых либо зеленых? (два решения). Это аналитически можно решить? В Интернете попадались минимум двух переменных сводили к уравнениям, тут же все окружности на плоскости. Или только численно? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	21.05.2016, 16:26 [ТС]
	Почему никто не отвечает =(. Плохо описал? Вроде доступно и анимашка есть… Я вижу только разряженный брутофорс поиск минимума. Может в этой упрощенной постановке есть аналитическое решение? 0

@Excalibur921 1472 / 827 / 140 Регистрация: 12.10.2013 Сообщений: 5,456
	21.05.2016, 22:03 [ТС]
	Не собирался. Есть много разных. Значит только численно? 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	22.05.2016, 00:13
	А Вы в интернете русскоязычном лучшее, чем делал Иванов А.Б. (ник. алексей-алексей) и его последователи видели? - Нет.! Так что осваивайте метод Драгилева. Правда, Иванов куда-то пропал. И сайт exponenta.ru , где Иванов выставлял свои работы скис. 0