Сложноватая планиметрическая задачка: окружность, хорды, подобие

@FasterHarder · Регистрация: 28.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет!
Есть такая задача: Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки KC и АВ пересекаются в точке L.
a) Докажите, что CN: CM = LB : LA
б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен корень(23)
--------------------------------------------------------------------------------------
Достаточно уже прокопался с данной задачей, но в итоге ни к чему не пришел. Подскажите к чему стремиться в этой задаче, ну, там к подобию, к достроению, а может какое-то редкое свойство нужно применить.
Мне, скорее всего, будет достаточно алгоритма, т е словесного краткого пошагового описания, что делать, а я уж сам посчитаю все.

Спасибо!

@Excalibur921 · 12.04.2016, 10:48

Сообщение от FasterHarder

Подскажите к чему стремиться

В любой задаче по геометрии стремиться нужно прежде всего к рисунку с адекватными обозначениями всех объектов. Тогда процент решающих\желающих разобраться резко увеличивается. Скачайте хоть бесплатную GeoGebra накидайте мышкой рисунок и сюда…

Сообщение от FasterHarder

редкое свойство нужно применить.

Нужно убрать лень и не желание красиво оформить задачу тогда и отношение меняется.

Сообщение от FasterHarder

но в итоге ни к чему не пришел.

Это потому, что всем лень строить в уме ваши построения, потому и помощи нет.

Сообщение от FasterHarder

равен корень(23)

Есть редактор формулы… людям нравиться когда будет значок корень и под ним число…

@mathmichel · 12.04.2016, 11:51

Надеюсь, что пункт а) затруднений не вызвал.
В пункте б) достаточно найти угол MKN. Тогда, зная радиус большой окружности, можно найти хорду MN. Для нахождения угла MKN найдем отрезки MK и KN из условия касания MN малой окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MC^2=MA\cdot MK$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NC^2=NB\cdot NK$ . Так как окружности отличаются по радиусу в два раза, то MA=AK и NB=BK, отсюда сразу получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MK=MC\sqrt{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NK=NC\sqrt{2}$ . Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MC=3x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NC=2x$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MN=5x$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MK=3x\sqrt{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NK=2x\sqrt{2}$ откуда находим по теореме косинусов угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(\angle MKN)=\frac{1}{24}$ , дальше переходим к синусу и вычисляем хорду MN

@FasterHarder · 12.04.2016, 13:16 **[ТС]**

"Надеюсь, что пункт а) затруднений не вызвал."
Ну, как сказать. Не доказал я его пока что.
Пытаюсь рассмотреть треугольник KNM: (.)А - центр стороны КМ, (.)В - центр стороны KN, тогда АВ - средняя линия этого треугольника. Я понимаю, что эта линия отсекает треугольник АКВ, который подобен треугольнику KMN. Потом вижу линию КС, которая делит АВ в точке L и сторону MN в точке С. Тут т.Фалеса нужно применять?

Кстати, хотел еще уточнить у вас по поводу:
"Так как окружности отличаются по радиусу в два раза, то MA=AK и NB=BK"
С этим, да, согласен, разумеется, но из чего это следует? Из подобия треугольников AKB и MKN?

Хотел еще дополнительно уточнить: а можно принять за основу построение, когда хорда MN совпадает с диаметром большей окружности или это будет считаться частным случаем?

@mathmichel · 12.04.2016, 13:48

Сообщение от FasterHarder

"Надеюсь, что пункт а) затруднений не вызвал."
Ну, как сказать. Не доказал я его пока что.

Проведите общую касательную через точку K и воспользуйтесь углами между хордами MK, KN и этой касательной.

Сообщение от FasterHarder

Пытаюсь рассмотреть треугольник KNM: (.)А - центр стороны КМ, (.)В - центр стороны KN, тогда АВ - средняя линия этого треугольника. Я понимаю, что эта линия отсекает треугольник АКВ, который подобен треугольнику KMN. Потом вижу линию КС, которая делит АВ в точке L и сторону MN в точке С. Тут т.Фалеса нужно применять?
Кстати, хотел еще уточнить у вас по поводу:
"Так как окружности отличаются по радиусу в два раза, то MA=AK и NB=BK"
С этим, да, согласен, разумеется, но из чего это следует? Из подобия треугольников AKB и MKN?

Да, конечно эти треугольники подобны и вписаны в окружности, радиусы которых отличаются в два раза.

Сообщение от FasterHarder

а можно принять за основу построение, когда хорда MN совпадает с диаметром большей окружности или это будет считаться частным случаем?

А зачем, задача и так решается просто с помощью теоремы косинусов (о чем я выше уже написал)

@FasterHarder · 13.04.2016, 09:18 **[ТС]**

В общем получил cosMKN = 1/24 по т.Косинусов.
Затем нашел sinMKN (= 5 * sqrt(23) / 24) из основного тригонометрического тождества, взяв знак "+", т к угол I четверти.
Затем обратился к т.Синусов и записал так: AB/sinMKN = 2R, где R = sqrt(23).
Нашел AB = sinMKN * 2 * sqrt(23) = 5 * sqrt(23)/24 * 2 * sqrt(23) = 5 * 23 * 2 / 24 = 115/12
Поскольку АВ средняя линия, то ее длина равна половине MN, т е MN = 2AB = 2 * 115/12 = 115/6

Ответ: 115/6

P.S. У кого есть ответ, напишите "Да/Нет"

PPS: mathidiot, вам отдельное спасибо за помощь!

@Cute · 13.04.2016, 11:14

FasterHarder, 115/6 - правильный ответ.

@FasterHarder · 13.04.2016, 18:11 **[ТС]**

Cute, спасибо, что подтвердил + отдельный респект за помощь в привате!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Отправка уведомления на почту при изменении наименования справочника Maks 24.03.2026 Программная отправка письма электронной почты на примере изменения наименования справочника "Склады" в конфигурации БП3. Перед реализацией необходимо выполнить настройку системной учетной записи. . .	модель ЗдравоСохранения 5. Меньше увольнений- больше дохода! anaschu 24.03.2026 Теперь система здравосохранения уменьшает количество увольнений. 9TO2GP2bpX4 a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ https:/ / rutube. ru/ video/ a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ Слева синяя линия -. . .	Midnight Chicago Blues kumehtar 24.03.2026 Такой Midnight Chicago Blues, знаешь?. . Когда вечерние улицы становятся ночными, а ты не можешь уснуть. Ты идёшь в любимый старый бар, и бармен наливает тебе виски. Ты смотришь на пролетающие. . .	Контроль уникальности заводского номера - вариант №2 Maks 24.03.2026 В отличие от предыдущего варианта добавлено прерывание циклов, также добавлены новые переменные для сохранения контекста ошибки перед прерыванием цикла: Процедура ПередЗаписью(Отказ, РежимЗаписи,. . .
SDL3 для Desktop (MinGW): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью библиотеки SDL3_ttf на Си и C++ 8Observer8 24.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-text-sdl3-c. zip finish-text-sdl3-cpp. zip	Жизнь в неопределённости kumehtar 23.03.2026 Жизнь — это постоянное существование в неопределённости. Например, даже если у тебя есть список дел, невозможно дойти до точки, где всё окончательно завершено и больше ничего не осталось. В принципе,. . .	Модель здравоСохранения: работники работают быстрее после её введения. anaschu 23.03.2026 geJalZw1fLo Корпорация до введения программа здравоохранения имела много невыполненных работниками заданий, после введения программы количество заданий выросло. Но на выплатах по больничным это. . .	Контроль уникальности заводского номера - вариант №1 Maks 23.03.2026 Алгоритм контроля уникальности заводского (или серийного) номера на примере документа выдачи шин для спецтехники с табличной частью в конфигурации КА2. Данные берутся из регистра сведений, по. . .

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726

	Сложноватая планиметрическая задачка: окружность, хорды, подобие 12.04.2016, 00:14. Показов 7056. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Всем привет! Есть такая задача: Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки KC и АВ пересекаются в точке L. a) Докажите, что CN: CM = LB : LA б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен корень(23) -------------------------------------------------------------------------------------- Достаточно уже прокопался с данной задачей, но в итоге ни к чему не пришел. Подскажите к чему стремиться в этой задаче, ну, там к подобию, к достроению, а может какое-то редкое свойство нужно применить. Мне, скорее всего, будет достаточно алгоритма, т е словесного краткого пошагового описания, что делать, а я уж сам посчитаю все. Спасибо! 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11078 / 7378 / 3991 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,813
	12.04.2016, 11:51
	Надеюсь, что пункт а) затруднений не вызвал. В пункте б) достаточно найти угол MKN. Тогда, зная радиус большой окружности, можно найти хорду MN. Для нахождения угла MKN найдем отрезки MK и KN из условия касания MN малой окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MC^2=MA\cdot MK$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NC^2=NB\cdot NK$ . Так как окружности отличаются по радиусу в два раза, то MA=AK и NB=BK, отсюда сразу получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MK=MC\sqrt{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NK=NC\sqrt{2}$ . Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MC=3x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NC=2x$ , тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MN=5x$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?MK=3x\sqrt{2}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?NK=2x\sqrt{2}$ откуда находим по теореме косинусов угол $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos(\angle MKN)=\frac{1}{24}$ , дальше переходим к синусу и вычисляем хорду MN 1

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726
	12.04.2016, 13:16 [ТС]
	"Надеюсь, что пункт а) затруднений не вызвал." Ну, как сказать. Не доказал я его пока что. Пытаюсь рассмотреть треугольник KNM: (.)А - центр стороны КМ, (.)В - центр стороны KN, тогда АВ - средняя линия этого треугольника. Я понимаю, что эта линия отсекает треугольник АКВ, который подобен треугольнику KMN. Потом вижу линию КС, которая делит АВ в точке L и сторону MN в точке С. Тут т.Фалеса нужно применять? Кстати, хотел еще уточнить у вас по поводу: "Так как окружности отличаются по радиусу в два раза, то MA=AK и NB=BK" С этим, да, согласен, разумеется, но из чего это следует? Из подобия треугольников AKB и MKN? Хотел еще дополнительно уточнить: а можно принять за основу построение, когда хорда MN совпадает с диаметром большей окружности или это будет считаться частным случаем? 0

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726
	13.04.2016, 09:18 [ТС]
	В общем получил cosMKN = 1/24 по т.Косинусов. Затем нашел sinMKN (= 5 * sqrt(23) / 24) из основного тригонометрического тождества, взяв знак "+", т к угол I четверти. Затем обратился к т.Синусов и записал так: AB/sinMKN = 2R, где R = sqrt(23). Нашел AB = sinMKN * 2 * sqrt(23) = 5 * sqrt(23)/24 * 2 * sqrt(23) = 5 * 23 * 2 / 24 = 115/12 Поскольку АВ средняя линия, то ее длина равна половине MN, т е MN = 2AB = 2 * 115/12 = 115/6 Ответ: 115/6 P.S. У кого есть ответ, напишите "Да/Нет" PPS: mathidiot, вам отдельное спасибо за помощь! 0

@Cute 1077 / 658 / 68 Регистрация: 10.02.2011 Сообщений: 518
	13.04.2016, 11:14
	FasterHarder, 115/6 - правильный ответ. 1

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726
	13.04.2016, 18:11 [ТС]
	Cute, спасибо, что подтвердил + отдельный респект за помощь в привате! 0