Вычисление угла наклона одной прямой относительно другой

@Соколиный глаз · Регистрация: 25.07.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Как узнать угол наклона одной прямой относительно другой, если обе прямые заданы координатами двух точек?

@splen · 22.07.2017, 12:13

Синус угла между прямыми можно выразить через векторное произведение векторов, направленных вдоль этих прямых.
Если точки А₁ и А₂ расположены на одной прямой, а точки В₁ и В₂ - на другой, то

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \alpha = \frac{\vec{A_1 A_2} \times \vec{B_1 B_2}}{|A_1 A_2| \cdot |B_1 B_2|}$

@Nacuott · 22.07.2017, 13:41

Вектор делим на число и получаем число?

@splen · 22.07.2017, 13:45

Nacuott, в числителе потерялся знак модуля.

@Nacuott · 22.07.2017, 13:50

Ах, этот нехороший модуль!

И зачем векторное произведение?(В 2D оно не определено)
Когда можно через скалярное?

@splen · 22.07.2017, 15:30

В общем 3-х-мерном случае, конечно, рациональнее - через скалярное произведение,
но в 2-мерном, если под $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?| \vec a \times \vec b |$ подразумевать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? | a_x b_y - a_y b_x |$ (достаточно определения только модуля),
объём вычислений почти такой же.

@Puporev · 27.07.2017, 09:07

И это будет не синус, а косинус.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x11=x2-x1\\ y11=y2-y1\\x12=x4-x3\\y12=y4-y3\\cos(a)=\frac{x11*x12+y11*y12}{\sqrt{{x1}^{2}+{y11}^{2}}*\sqrt{{x12}^{2}+{y12}^{2}}}$

@Nadym · 27.07.2017, 09:16

Ну да, самый что ни на есть косинус)

@splen · 27.07.2017, 13:43

Puporev, Nadym, знак векторного произведения не заметили? пояснение ниже не читали?

@helter · 27.07.2017, 20:54

Сообщение от Nacuott

И зачем векторное произведение?(В 2D оно не определено)

В 4D тоже.

@splen · 27.07.2017, 21:52

helter, задача явно не N-мерная (кстати, ТС'а ответ, содержащий векторное произведение, устроил).
По определению, углом между прямыми называется меньший из углов, образующихся при их пересечении.
Такой угол должен находиться в пределах от 0 до Pi/2. Поэтому, если брать арккосинус, то в общем случае
результат придётся приводить от промежутка [0, Pi] к промежутку [0, Pi/2]. В то же время, арксинус модуля
сразу даёт правильный ответ. В 2-мерном случае векторное произведение вычисляется не сложнее, чем
скалярное, и поэтому по крайней мере в этом случае оно полезнее.
В данной задаче достаточно выражения для его модуля. Если вопрос не связан с конкретной задачей
и касается обобщения такого выражения на N-мерный случай, то оно даётся формулой Бине-Коши
(для двух взаимно транспонированных матриц размера 2 х N). В частных случаях, когда вычисление
возникающих там определителей 2-го порядка не приводит к чрезмерным вычислительным затратам,
такое выражение также может оказаться более предпочтительным.
С точки зрения корректности терминологии, конечно, о векторном произведении лучше говорить
только в 3-х-мерном случае, но думаю, что в данном случае ясно, что имеется в виду.

@helter · 27.07.2017, 22:42

А я что, я ничего.

Сообщение от splen

Поэтому, если брать арккосинус, то в общем случае
результат придётся приводить от промежутка [0, Pi] к промежутку [0, Pi/2].

В принципе, достаточно взять скалярное произведение по модулю.

@splen · 27.07.2017, 22:59

Сообщение от helter

В принципе, достаточно взять скалярное произведение по модулю.

Вот это, наверное, лучше всего.

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	27.07.2017, 20:54	10
	Сообщение от Nacuott И зачем векторное произведение?(В 2D оно не определено) В 4D тоже. 0

Вычисление угла наклона одной прямой относительно другой

Решение

Решение

Решение

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
		1
	Вычисление угла наклона одной прямой относительно другой 22.07.2017, 09:27. Показов 2889. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Как узнать угол наклона одной прямой относительно другой, если обе прямые заданы координатами двух точек? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	22.07.2017, 12:13	2
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение Синус угла между прямыми можно выразить через векторное произведение векторов, направленных вдоль этих прямых. Если точки А₁ и А₂ расположены на одной прямой, а точки В₁ и В₂ - на другой, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin \alpha = \frac{\vec{A_1 A_2} \times \vec{B_1 B_2}}{\|A_1 A_2\| \cdot \|B_1 B_2\|}$ 1

@Nacuott 1809 / 1004 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,941 Записей в блоге: 12
	22.07.2017, 13:41	3
	Вектор делим на число и получаем число? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	22.07.2017, 13:45	4
	Nacuott, в числителе потерялся знак модуля. 0

@Nacuott 1809 / 1004 / 187 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 2,941 Записей в блоге: 12
	22.07.2017, 13:50	5
	Ах, этот нехороший модуль! И зачем векторное произведение?(В 2D оно не определено) Когда можно через скалярное? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	22.07.2017, 15:30	6
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение В общем 3-х-мерном случае, конечно, рациональнее - через скалярное произведение, но в 2-мерном, если под $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\| \vec a \times \vec b \|$ подразумевать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \| a_x b_y - a_y b_x \|$ (достаточно определения только модуля), объём вычислений почти такой же. 0

@Puporev Почетный модератор 64304 / 47599 / 32743 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,181
	27.07.2017, 09:07	7
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение И это будет не синус, а косинус. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x11=x2-x1\\ y11=y2-y1\\x12=x4-x3\\y12=y4-y3\\cos(a)=\frac{x11x12+y11y12}{\sqrt{{x1}^{2}+{y11}^{2}}*\sqrt{{x12}^{2}+{y12}^{2}}}$ 1

@Nadym 396 / 285 / 82 Регистрация: 24.05.2017 Сообщений: 1,112
	27.07.2017, 09:16	8
	Ну да, самый что ни на есть косинус) 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	27.07.2017, 13:43	9
	Puporev, Nadym, знак векторного произведения не заметили? пояснение ниже не читали? 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	27.07.2017, 21:52	11
	helter, задача явно не N-мерная (кстати, ТС'а ответ, содержащий векторное произведение, устроил). По определению, углом между прямыми называется меньший из углов, образующихся при их пересечении. Такой угол должен находиться в пределах от 0 до Pi/2. Поэтому, если брать арккосинус, то в общем случае результат придётся приводить от промежутка [0, Pi] к промежутку [0, Pi/2]. В то же время, арксинус модуля сразу даёт правильный ответ. В 2-мерном случае векторное произведение вычисляется не сложнее, чем скалярное, и поэтому по крайней мере в этом случае оно полезнее. В данной задаче достаточно выражения для его модуля. Если вопрос не связан с конкретной задачей и касается обобщения такого выражения на N-мерный случай, то оно даётся формулой Бине-Коши (для двух взаимно транспонированных матриц размера 2 х N). В частных случаях, когда вычисление возникающих там определителей 2-го порядка не приводит к чрезмерным вычислительным затратам, такое выражение также может оказаться более предпочтительным. С точки зрения корректности терминологии, конечно, о векторном произведении лучше говорить только в 3-х-мерном случае, но думаю, что в данном случае ясно, что имеется в виду. 0

	27.07.2017, 22:59

Опции темы

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	27.07.2017, 22:42	12
	А я что, я ничего. Сообщение от splen Поэтому, если брать арккосинус, то в общем случае результат придётся приводить от промежутка [0, Pi] к промежутку [0, Pi/2]. В принципе, достаточно взять скалярное произведение по модулю. 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	27.07.2017, 22:59	13
	Сообщение от helter В принципе, достаточно взять скалярное произведение по модулю. Вот это, наверное, лучше всего. 0