Дифференциальная геометрия: ошибка геодезиста

@sasha_alesin · Регистрация: 08.05.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Есть такое задание, называется "Ошибка геодезиста":
На эллипсоиде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1\ (b<a)$$ введены координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$(\theta , \lambda ): \theta - $$ астрономическая широта (угол между касательной плоскостью в данной точке и осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$Oz$$ ); $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$\lambda - $$ долгота (угол между поскостью, проходящей через данную точку и плоскостью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$xOz$$ ).
Некто решил уравнение геодезической ошибочно, взяв $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$a=b$$ , и начертил на эллипсоиде соответствующую кривую. Вычислить ее геодезическую кривизну. Найти максимально возможное значение ее геодезической кривизны (при разных углах ее пересечения с экватором).
Если было взято $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$a=b$$ , то получилась сфера, на сфере геодезические - окружности большого круга и только они, это я знаю и умею выводить. Только вот что дальше то? Он начертил одну из этих окружностей на эллипсоиде, а какую? Может, эта окружность будет меридианом эллипсоида, тогда она будет и геодезической эллипсоида тоже, а может она и вовсе не будет на нем полностью лежать. Что от меня хотят?
Помогите, пожалуйста, хотя бы макетом решения. Что я должен сначала сделать, что потом.

Добавлено через 21 час 5 минут
Не понимаю - геодезические на сфере v=const, это окружности большие. Если их чертить на эллипсоиде, то выйдут параллели/меридианы, которые тоже являются геодезическими для эллипсоида, так же? Значит кривизна ноль везде?

@oolegg · 20.11.2017, 08:14

Геодезические эллипсойда это эллипс. Под кривизной понимается кривизна поверхности в точке.

@Nacuott · 20.11.2017, 09:14

Сообщение от oolegg

Геодезические эллипсойда это эллипс.

О, это интересно.Только эллипс?

@oolegg · 20.11.2017, 11:43

Надо посмотреть определение геодезической линии.Возможно это только большие эллипсы. Можно даже для примера вывести параметрическое уравнение эллипса при пересечении плоскости и эллипсойда.

@sasha_alesin · 20.11.2017, 11:53 **[ТС]**

oolegg, Nacuott, геодезические эллипсоида вращения - окружность, большие меридианы все и еще незамкнутых куча, которые получаются в результате движения шарика по нему. Но это неважно. Мне нужно найти геодезическую кривизну на эллипсоиде кривой, которая является геодезической на сфере, так или нет? Если да, то геодезические на сфере - большие окружности, которые на эллипсоиде станут меридианами, которые в свою очередь являются геодезическими на эллипсоиде, значит их геодезическая кривизна 0. В чем я не прав?

@Nacuott · 20.11.2017, 12:46

Кстати, вот геодезическая на эллипсоиде. См.картинку.

Сообщение от sasha_alesin

Он начертил одну из этих окружностей на эллипсоиде, а какую?

Естественно, радиусом а.

@sasha_alesin · 20.11.2017, 13:57 **[ТС]**

Nacuott, не понимаю вас. Зачем мне вообще геодезическая на эллипсоиде? Мне надо найти геодезическую кривизну кривой на эллипсоиде, которая является геодезической для сферы.

@oolegg · 20.11.2017, 17:01

Nacuott, Я не понял вас. Что за геодезические линии. У них есть название?

@Nacuott · 20.11.2017, 17:09

Сообщение от oolegg

Nacuott, Я не понял вас. Что за геодезические линии. У них есть название?

На любых гладких поверхностях имеются геодезические кривые - на эллипсоиде, торе, конусе и т.д..О геодезических кривых можно почитать в курсе дифференциальной геометрии (например П.К. Рашевский Курс дифференциальной геометрии)

@oolegg · 20.11.2017, 17:36

Спасибо за информацию.Обязательно почитаю. Просто хотел спросить как называются геодезические кривые на эллипсойде. У них же есть название.

@sasha_alesin · 20.11.2017, 17:44 **[ТС]**

Nacuott, по поводу самой задачи можете что-то помочь? Спасибо.

@Nacuott · 20.11.2017, 18:30

Сообщение от oolegg

Спасибо за информацию.Обязательно почитаю. Просто хотел спросить как называются геодезические кривые на эллипсойде. У них же есть название.

Их там бесконечно много.Через каждую точку эллипсоида в любом направлении проходит геодезическая.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от sasha_alesin

Nacuott, по поводу самой задачи можете что-то помочь? Спасибо.

Какое-то бестолковое задание. Я пас.
Проконсультируйтесь у тех , кто дал это задание.

@sasha_alesin · 20.11.2017, 18:40 **[ТС]**

Nacuott, это курсовая работа по дифференциальной геометрии

Так что вряд ли оно бестолковое...

@Nacuott · 20.11.2017, 19:08

Сообщение от sasha_alesin

Так что вряд ли оно бестолковое...

Вам виднее.

@oolegg · 20.11.2017, 19:50

Nacuott, Да, я уже прочитал определение. Спасибо.

@sasha_alesin · 22.11.2017, 03:21 **[ТС]**

Nacuott, я все понял и все посчитал. На сфере геодезические - большие окружности. Если рассматривать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = const$ (меридианы), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит 0, и это верно, так как на эллипсоиде меридианы - тоже геодезические. Если рассматривать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta = const$ (параллели), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a \dot sin(\theta)}{a^{2}sin^{2}(\theta)+b^{2}cos^{2}(\theta)}$ , что дает 0 при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta=0$ (так и есть, ведь нулевая параллель (экватор) для эллипсоида - геодезическая), и при увеличении (уменьшении) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{\pi}{2}$ ) растет до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{a}$ . Все вроде хорошо, но мы рассмотрели лишь два случая, когда большие окружности - параллели либо меридианы, а если они не те и не другие? Это надо либо как-то поворачивать тело, совмещая эту окружность с параллелью или меридианом, либо надо записать аналитический вид любой большой окружности на сфере. На этом я застрял. Про повороты ничего не знаю, аналитический вид что-то тоже не выходит и не гуглится. Рассчитываю на помощь.

Добавлено через 6 минут
Другими словами, как рассмотреть общий случай большой окружности на сфере?

@Nacuott · 22.11.2017, 10:00

sasha_alesin, еще раз прочитал условие - все-таки бестолковое задание.
Недаром на dxdy вам ответили так же как я.
Картинка такая. На эллипсоиде вращения других окружностей -геодезических нет.(с радиусом а)

@sasha_alesin · 22.11.2017, 11:51 **[ТС]**

Nacuott, я Вам уже задавал этот вопрос - задаю ещё раз: зачем мне геодезические на эллипсоиде? Вы уже второй раз кидаете картинки геодезических на эллипсоиде, а мне они не нужны. Задание не в этом состоит. Прочитайте его, пожалуйста, ещё раз.

Добавлено через 2 минуты
Nacuott, мне нужно определить кривизну кривых на эллипсоиде, геодезические не нужно искать на нем.
Нужно на эллипсоиде построить все те кривые, которые на сфере являются большими окружностями. И вычислить их кривизну.

@Nacuott · 22.11.2017, 14:24

sasha_alesin, так и других окружностей радиуса а на эллипсоиде больше нет.
Эта, единственная оказалась еще и геодезической. Все.Аминь!

@sasha_alesin · 22.11.2017, 17:24 **[ТС]**

Nacuott, а зачем мне именно окружности то? Мне нужны те кривые, которые являются окружностями на сфере, на эллипсоиде это вовсе не обязательно будут окружности. Вот вам пример: на сфере меридианы это окружности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = const$ , если я начну это строить на эллипсоиде, то получатся тоже меридианы, но они уже эллипсы.
Nacuott, я правильно говорю или нет?)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake на Windows для сборки C и C++ приложений в WebAssembly (Wasm) 8Observer8 30.01.2026 Чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. Система контроля версиями Git. . .	Подключение Box2D v3 к SDL3 для Android: физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .
Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .	Влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .	Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46

	Дифференциальная геометрия: ошибка геодезиста 19.11.2017, 22:52. Показов 1737. Ответов 19 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Есть такое задание, называется "Ошибка геодезиста": На эллипсоиде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1\ (b<a)$$ введены координаты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$(\theta , \lambda ): \theta - $$ астрономическая широта (угол между касательной плоскостью в данной точке и осью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$Oz$$ ); $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$\lambda - $$ долгота (угол между поскостью, проходящей через данную точку и плоскостью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$xOz$$ ). Некто решил уравнение геодезической ошибочно, взяв $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$a=b$$ , и начертил на эллипсоиде соответствующую кривую. Вычислить ее геодезическую кривизну. Найти максимально возможное значение ее геодезической кривизны (при разных углах ее пересечения с экватором). Если было взято $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?$a=b$$ , то получилась сфера, на сфере геодезические - окружности большого круга и только они, это я знаю и умею выводить. Только вот что дальше то? Он начертил одну из этих окружностей на эллипсоиде, а какую? Может, эта окружность будет меридианом эллипсоида, тогда она будет и геодезической эллипсоида тоже, а может она и вовсе не будет на нем полностью лежать. Что от меня хотят? Помогите, пожалуйста, хотя бы макетом решения. Что я должен сначала сделать, что потом. Добавлено через 21 час 5 минут Не понимаю - геодезические на сфере v=const, это окружности большие. Если их чертить на эллипсоиде, то выйдут параллели/меридианы, которые тоже являются геодезическими для эллипсоида, так же? Значит кривизна ноль везде? 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 737
	20.11.2017, 08:14
	Геодезические эллипсойда это эллипс. Под кривизной понимается кривизна поверхности в точке. 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 737
	20.11.2017, 11:43
	Надо посмотреть определение геодезической линии.Возможно это только большие эллипсы. Можно даже для примера вывести параметрическое уравнение эллипса при пересечении плоскости и эллипсойда. 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	20.11.2017, 11:53 [ТС]
	oolegg, Nacuott, геодезические эллипсоида вращения - окружность, большие меридианы все и еще незамкнутых куча, которые получаются в результате движения шарика по нему. Но это неважно. Мне нужно найти геодезическую кривизну на эллипсоиде кривой, которая является геодезической на сфере, так или нет? Если да, то геодезические на сфере - большие окружности, которые на эллипсоиде станут меридианами, которые в свою очередь являются геодезическими на эллипсоиде, значит их геодезическая кривизна 0. В чем я не прав? 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	20.11.2017, 13:57 [ТС]
	Nacuott, не понимаю вас. Зачем мне вообще геодезическая на эллипсоиде? Мне надо найти геодезическую кривизну кривой на эллипсоиде, которая является геодезической для сферы. 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 737
	20.11.2017, 17:01
	Nacuott, Я не понял вас. Что за геодезические линии. У них есть название? 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 737
	20.11.2017, 17:36
	Спасибо за информацию.Обязательно почитаю. Просто хотел спросить как называются геодезические кривые на эллипсойде. У них же есть название. 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	20.11.2017, 17:44 [ТС]
	Nacuott, по поводу самой задачи можете что-то помочь? Спасибо. 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	20.11.2017, 18:40 [ТС]
	Nacuott, это курсовая работа по дифференциальной геометрии Так что вряд ли оно бестолковое... 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 737
	20.11.2017, 19:50
	Nacuott, Да, я уже прочитал определение. Спасибо. 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	22.11.2017, 03:21 [ТС]
	Nacuott, я все понял и все посчитал. На сфере геодезические - большие окружности. Если рассматривать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = const$ (меридианы), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит 0, и это верно, так как на эллипсоиде меридианы - тоже геодезические. Если рассматривать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta = const$ (параллели), то, подставляя это в формулу для геодезической кривизны на эллипсоиде выходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{a \dot sin(\theta)}{a^{2}sin^{2}(\theta)+b^{2}cos^{2}(\theta)}$ , что дает 0 при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta=0$ (так и есть, ведь нулевая параллель (экватор) для эллипсоида - геодезическая), и при увеличении (уменьшении) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\theta$ до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{2}$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{\pi}{2}$ ) растет до $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{a}$ . Все вроде хорошо, но мы рассмотрели лишь два случая, когда большие окружности - параллели либо меридианы, а если они не те и не другие? Это надо либо как-то поворачивать тело, совмещая эту окружность с параллелью или меридианом, либо надо записать аналитический вид любой большой окружности на сфере. На этом я застрял. Про повороты ничего не знаю, аналитический вид что-то тоже не выходит и не гуглится. Рассчитываю на помощь. Добавлено через 6 минут Другими словами, как рассмотреть общий случай большой окружности на сфере? 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	22.11.2017, 10:00
	sasha_alesin, еще раз прочитал условие - все-таки бестолковое задание. Недаром на dxdy вам ответили так же как я. Картинка такая. На эллипсоиде вращения других окружностей -геодезических нет.(с радиусом а) Миниатюры 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	22.11.2017, 11:51 [ТС]
	Nacuott, я Вам уже задавал этот вопрос - задаю ещё раз: зачем мне геодезические на эллипсоиде? Вы уже второй раз кидаете картинки геодезических на эллипсоиде, а мне они не нужны. Задание не в этом состоит. Прочитайте его, пожалуйста, ещё раз. Добавлено через 2 минуты Nacuott, мне нужно определить кривизну кривых на эллипсоиде, геодезические не нужно искать на нем. Нужно на эллипсоиде построить все те кривые, которые на сфере являются большими окружностями. И вычислить их кривизну. 0

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	22.11.2017, 14:24
	sasha_alesin, так и других окружностей радиуса а на эллипсоиде больше нет. Эта, единственная оказалась еще и геодезической. Все.Аминь! 0

@sasha_alesin 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.05.2016 Сообщений: 46
	22.11.2017, 17:24 [ТС]
	Nacuott, а зачем мне именно окружности то? Мне нужны те кривые, которые являются окружностями на сфере, на эллипсоиде это вовсе не обязательно будут окружности. Вот вам пример: на сфере меридианы это окружности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = const$ , если я начну это строить на эллипсоиде, то получатся тоже меридианы, но они уже эллипсы. Nacuott, я правильно говорю или нет?) 0