Найти расстояние между точками в новой системе координат

@oolegg · Регистрация: 10.07.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Умножая матрицу M на стандартные базисные векторы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$
мы совершаем смену базиса или линейное преобразование пространства:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e'_1= M e_1 , e'_2= M e_2, e'_3= M e_3$
Эти новые векторы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e'_1, e'_2, e'_3$
образуют новый базис.

Найти расстояние между точками в новой системе координат?

iifat · 04.09.2025, 12:53

Сообщение от Igor3D

Плюс еще координата центра

При чём тут физика? Речь явно о линейной алгебре. При чём тут система координат? Тут вектора и только вектора.

Сообщение от Igor3D

какой-то смысл в этом есть, но как-то не очень

Рад за себя. А «не очень» имеет какое-нить математическое определение?

@Igor3D · 04.09.2025, 13:43

Сообщение от iifat

А «не очень» имеет какое-нить математическое определение?

Почему бы не сказать проще и яснее, напр

Любая тройка (набор) неколлинеарных векторов

@palva · 04.09.2025, 14:36

Сообщение от Igor3D

Любая тройка (набор) неколлинеарных векторов

Если пространство трёхмерно, то можно сказать и так. Только вместо "неколлинеарных" надо написать "некомпланарных".

Добавлено через 35 минут
Определений базисов может быть много. И для конечномерных пространств они эквивалентны. Для бесконечномерных пространств появляются разночтения.
Скажем, пространство всех многочленов. Здесь еще можно считать базисом набор многочленов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^k.$ Каждый многочлен является конечной линейной комбинацией элементов базиса. Но для формальных степенных рядов (это линейное пространство) такой "базис" уже выглядит сомнительным, поскольку понадобится бесконечная линейная комбинация. Можно сильно расширить базис (базис Гамеля), а можно сузить пространство, чтобы базис остался прежним. Например, можно ввести понятие сходимости для рядов и рассматривать только сходящиеся ряды. Когда функцию раскладывают в тригонометрический ряд, то находят много аналогий с разложением вектора по некоторому базису, который как бы состоит из функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin kx,\ \cos kx.$

Добавлено через 4 минуты
Понятие базиса Гамеля в математике не особо пригодилось.
А вот второй подход нехило развился в теорию гильбертовых пространств для обслуживания задач математической физики.

@Igor3D · 04.09.2025, 15:07

Сообщение от palva

Только вместо "неколлинеарных" надо написать "некомпланарных".

Да, верно, ведь если все 3 лежат в одной плоскости - базис некорректен. Выходит и формулировка "линейно независимых" недостаточна. Может лучше так

Минимальный набор векторов, такой что любой другой (произвольный) вектор можно выразить линейной комбинацией этого набора

А какого-то стандартного определения (которым можно тыкать в нос) нет

@palva · 04.09.2025, 15:48

Сообщение от Igor3D

А какого-то стандартного определения (которым можно тыкать в нос) нет

А зачем вам? Возьмите любой учебник, с авторитетностью которого согласится ваш оппонент, и возьмите оттуда.

Для трёх векторов некомпланарность эквивалентна линейной независимости.

iifat · 04.09.2025, 15:53

Сообщение от Igor3D

Выходит и формулировка "линейно независимых" недостаточна

Вполне достаточна (для конечномерных пространств). Любые три компланарных вектора трёхмерного пространства линейно зависимы.

Сообщение от Igor3D

какого-то стандартного определения (которым можно тыкать в нос) нет

Как уже было сказано, есть куча определений, абсолютно эквивалентных между собой. Так что, коли уж вам непременно хочется чем-то тыкать кому-то в нос, подойдёт любое (или все сразу).

@palva · 04.09.2025, 15:53

К Википедии (Линейное пространство) обращаться не советую. Там неправильное определение.
Возьмите, например, книги, по которым учился я. Ефимов, Розендорн или П.С.Александров. Лекции по аналитической геометрии.

iifat · 04.09.2025, 16:30

Сообщение от palva

Там неправильное определение

Чем неправильное-то? Упомянутый уже базис Гамеля. Уж для конечномерных пространств, по-моему, вполне себе.

@Igor3D · 04.09.2025, 17:57

Сообщение от iifat

коли уж вам непременно хочется чем-то тыкать кому-то в нос,

Чисто для самообороны, когда начинают пугать Гамелем и всячески хотят (пере)усложнить

Сообщение от palva

П.С.Александров. Лекции по аналитической геометрии.

Скачал, пролистал. Определения базиса не увидел

Ну ладно

@palva · 04.09.2025, 18:24

Сообщение от iifat

Чем неправильное-то?

Наверно, я отстал от жизни. Я привык к тому, что базис Гамеля это множество. Так определялось в книгах, которые я когда-то читал. (Халмош. Гильбертово пространство в задачах (1970) с. 14 задача 5.) А в конечномерных пространствах базис это множество с добавленной нумерацией от 1 до n (семейство, система). То есть я привык разделять эти два понятия. В новых изданиях (Колмогоров и Фомин) базис Гамеля определяется как система, в Википедии как "упорядоченное множество". Пусть будет так.

Не по теме:

Книгу могу прислать.

@palva · 04.09.2025, 18:31

Сообщение от Igor3D

Скачал, пролистал. Определения базиса не увидел

https://www.cyberforum.ru/atta... 1756999882

@Igor3D · 04.09.2025, 19:05

Сообщение от palva

https://www.cyberforum.ru/atta... 1756999882

Спасибо что "ткнули носиком". Хорошо, а с этим что?

Сообщение от Igor3D

2) Базис - это как направлены оси, формулируется без формул, словами или картинкой. Напр
X идет/направлена слева направо
Y снизу вверх
Z "на нас"

Понимаю что это не имеет отношения к науке/теории, но при работе с 3D приложениями без этого не обойтись. Это "не базис"? Или как?

@palva · 04.09.2025, 19:40

Сообщение от Igor3D

Хорошо, а с этим что?

Здесь описано, как принято рисовать систему координат. Иногда пририсовывают вдоль осей базисные векторы, приложенные к началу координат. А нарисовать надо так, чтобы система получилась "правой", чтобы в ней правильно работали формулы для вычисления векторного произведения.

@Igor3D · 04.09.2025, 22:04

Сообщение от palva

Здесь описано, как принято рисовать систему координат. Иногда пририсовывают вдоль осей базисные векторы, приложенные к началу координат. А нарисовать надо так, чтобы система получилась "правой", чтобы в ней правильно работали формулы для вычисления векторного произведения.

Рисование касается всех отображаемых объектов, не только осей. Некоторые приложения использую "левую" тройку, формулы считаются точно так же. Левая интуитивнее, чем дальше объект - тем больше Z (для правой тройки выше наоборот). При импорте/экспорте данных между приложениями необходимо учитывать направление осей "базиса", напр инвертировать Z для векторов/координат. Вот хорошая задачка для ТС которую я, в свое время, "ни асилил"

Приложение юзает левую тройку, направления осей
X слева направо
Y снизу вверх
Z "ОТ нас"

Импортируется матрица M(4x4) которая записана для "правой" тройки (Z "НА нас"). Как ее преобразовать для нашей левой тройки?

iifat · 05.09.2025, 14:29

Сообщение от palva

Я привык к тому, что базис Гамеля это множество

Ну дык так оно и есть, вообще-то. Просто когда хотим привлечь матричное исчисление, оно накладывает свои реалии, как, впрочем, и любое изображение на бумаге: поскольку мы читаем слева направо, в множестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\{a,b\}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ будет первым, а $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b$ вторым.
Ну, есть в трёхмерном пространстве векторное произведение и правая/левая ориентация тройки векторов, а также, наверное, и аналоги в многомерных случаях, но я не уверен даже, что эту область действительно изучает линейная алгебра.

@Tupiel Reuschin · 05.09.2025, 14:33

Сообщение от iifat

Спойлер: такое ж, как и в старой.

При аффинном преобразовании может быть масштабирование. И расстояние поменяется.

При аффинном преобразовании с масштабированием расстояния между точками изменятся.
Например, при масштабировании в 2 раза все расстояния удвоятся.

@oolegg · 05.09.2025, 22:26 **[ТС]**

Нет, смена координат не изменяет расстояние.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как у меня протекала болезнь zorxor 27.08.2026 Здравствуйте, друзья! Эта запись блога предназначена именно для вас - для моих дорогих друзей, которые знали меня лично. Чтобы ответить на вопрос - а что же со мной произошло на самом деле? Я учился. . .	Нашел вот забавное видео о измерениях. Лучшее что я видел на эту тему kumehtar 26.08.2026 ILETXiw9bMQ Основная суть и тезисы по измерениям: 0D (Нулевое измерение): точка, не имеющая длины, ширины, высоты или объема. Объект не может перемещаться в 0D. 1D (Первое измерение):. . .	[EasyBuilder Pro] Памятка по разработке для панелей Weintek ФедосеевПавел 26.08.2026 Памятка по разработке для панелей Weintek ВВЕДЕНИЕ Ранее, при реализации проектов основное внимание уделял разработке управляющей программы для контроллера, а панели оператора доставалось время. . .	Модель по догадкам anaschu 25.08.2026 Прошло две недели. Я уже рассказывал, как разговаривал с сотрудниками у сортировки и как понял, что главная ветка — не про приёмку, а про отбор. Но тогда я думал, что понял механику. На этой неделе я. . .
Запись в регистр сведений независимо от заполненности табличной части Maks 25.08.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом документе с несколькими табличными частями, разработанного в КА2. Задача: Обеспечить запись документа в регистр сведений независимо от. . .	Ноутбук Альфария kumehtar 24.08.2026 Встретился тут в сети ноутбук Альфария, примарха Альфа-Легиона. Хотя возможно, это ноутбук Омегона, разумеется. Ну как вам?	Мастера простых решений DevAlt 23.08.2026 В сишарп стэках winforms, да и wpf существует сложная система связывания источниках данных и элементов формы(текстовые поля и метки), опирается все это на технологию событий и мета. . .	Цена ошибки DevAlt 23.08.2026 Человек я беспокойный и потому заинтересовался OCaml, в чате форсили функторы модулей как суперфичу. Пытаясь отдуплить концепт, наткнулся на тутор с простым примером. А главный принцип обучения от. . .

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 751

	Найти расстояние между точками в новой системе координат 30.08.2025, 09:06. Показов 2915. Ответов 36 Метки вектор, матрица, расстояние (Все метки) Умножая матрицу M на стандартные базисные векторы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ мы совершаем смену базиса или линейное преобразование пространства: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e'_1= M e_1 , e'_2= M e_2, e'_3= M e_3$ Эти новые векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e'_1, e'_2, e'_3$ образуют новый базис. Найти расстояние между точками в новой системе координат? 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	04.09.2025, 15:53
	К Википедии (Линейное пространство) обращаться не советую. Там неправильное определение. Возьмите, например, книги, по которым учился я. Ефимов, Розендорн или П.С.Александров. Лекции по аналитической геометрии. 0

@oolegg 33 / 31 / 4 Регистрация: 10.07.2014 Сообщений: 751
	05.09.2025, 22:26 [ТС]
	Нет, смена координат не изменяет расстояние. 0