Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АLM
Спасибо!

0

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии трапеции.

0

Сообщение от Mr.Y Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии трапеции.

Это по рисунку видно.

0

Сообщение от Fylhtq1997 Это по рисунку видно.

И тем не менее это не доказательство...

Один из возможных вариантов построения представлен во вложении.
По этому варианту (после доказательства!) рассмотрите треугольники KLN и KMN - они опираются на одну сторону.
Введя обозначение BQ = x -> CR = 12 - x и учтя, что QC и BR - средние линии треугольников KLN и KMN соответственно, составьте уравнение, из которого можно найти x, а, как следствие, и основания трапеции.
Зная основания и боковые стороны трапеции, Вы можете найти стороны треугольника ALM по подобию.
Любыми возможными путями найдите площадь и полупериметр треугольника ALM.
Ну а далее формула r = S/p.

При другом варианте построения решение аналогично.

Миниатюры

 

1

Сообщение от Mr.Y Введя обозначение BQ = x -> CR = 12 - x и учтя, что QC и BR - средние линии треугольников KLN и KMN соответственно, составьте уравнение, из которого можно найти x, а, как следствие, и основания трапеции.

Недоглядел...

Лучше рассматривать треугольники KLM и NML.
В остальном рассуждения аналогичные.

1

Спасибо большое. Чертёж у меня в туже сторону, что это немного порадовало, а то предыдущие разы было совсем противоположно. Но у Вас BC ну как бы совсем не пляшет, она раза в два должна быть больше Х. Не суть. Если из точки M провести параллельную прямую LK на KN получиться параллелограмм KLMN₁, диагональ MK как диагональ параллелограмма делится средней линией пополам. Такое подойдёт доказательство? Дальше буду соображать.Я рассуждал чере площадь выйти на радиус. Что то не складывается пока. Как Вы так рисуете шикарно, вот мне бы так. Когда сестра захочет то делает мне в Автокаде. А Вы вкакой программе чертите? Заболтал! Ещё раз СПАСИБО!!

Добавлено через 1 час 49 минут
Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. Части средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то
12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;
Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;
Отсюда легко находим a = 36, b = 12;
Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;
Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK - AL = 10; AN - AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.
По Пифагору - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r = (5 + 12 - 13)/2 = 2.
Ответ:r = 2 см.
Между прочим, в задаче задана прямоугольная трапеция.

0

Такое подойдёт доказательство?

Я бы доказывал это утверждение через пятый постулат Евклида:

QR || LM
QB || LM (как средняя линия треугольника KLM)

Отсюда и будет следовать то, что отрезок QB лежит на прямой QR.
Аналогично рассматривается CR.

Точки B и C принадлежат прямой QR -> BC лежит на прямой QR. Ч.т.д.

А Вы вкакой программе чертите?

В paint'е.

Ответ:r = 2 см.

Задача решена верно, но попробуйте поменять местами обозначения точек L и K, M и N...

1