Найти проекцию точки А на прямую

@Saveli · Регистрация: 29.01.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

A(2;-5;1)
B(-1;0;2)
D(1;-1;0)
Была бы не трехмерная система...
А так, я запуталась

Помогите пожалуйста))

@Dmitrinik · 15.11.2012, 19:54

Я так понял, что прямая проходит через точки B, D?
Обозначим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k={x}_{D}-{x}_{B}, m={y}_{D}-{y}_{B}, n={z}_{D}-{z}_{B}$
Тогда уравнение прямой в симметричном виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-{x}_{B}}{k}=\frac{y-{y}_{B}}{m}=\frac{z-{z}_{B}}{n}$
Теперь из точки А надо опустить перпендикуляр на эту прямую. Этот перпендикуляр определяется уравнениями
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})k + (y-{y}_{A})m +(z-{z}_{A})n=0,$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})[({y}_{B}-{y}_{A})n-({z}_{B}-{z}_{A})m]+(y-{y}_{A})[({z}_{B}-{z}_{A})k-({x}_{B}-{x}_{A})n]+(z-{z}_{A})[({x}_{B}-{x}_{A})m-({y}_{B}-{y}_{A})k]$
Решение системы этих уравнений даст координаты точки-проекции.

@Saveli · 15.11.2012, 21:09 **[ТС]**

Сообщение от Dmitrinik

Я так понял, что прямая проходит через точки B, D?
Обозначим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k={x}_{D}-{x}_{B}, m={y}_{D}-{y}_{B}, n={z}_{D}-{z}_{B}$
Тогда уравнение прямой в симметричном виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-{x}_{B}}{k}=\frac{y-{y}_{B}}{m}=\frac{z-{z}_{B}}{n}$
Теперь из точки А надо опустить перпендикуляр на эту прямую. Этот перпендикуляр определяется уравнениями
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})k + (y-{y}_{A})m +(z-{z}_{A})n=0,$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})[({y}_{B}-{y}_{A})n-({z}_{B}-{z}_{A})m]+(y-{y}_{A})[({z}_{B}-{z}_{A})k-({x}_{B}-{x}_{A})n]+(z-{z}_{A})[({x}_{B}-{x}_{A})m-({y}_{B}-{y}_{A})k]$
Решение системы этих уравнений даст координаты точки-проекции.

Решение системы, что написана последней строчкой?

Добавлено через 10 минут
А всё...
Я не сразу поняла, что последние 2 строки это система)

@Dmitrinik · 15.11.2012, 21:16

Сообщение от Saveli

Решение системы, что написана последней строчкой?

Добавлено через 10 минут
А всё...
Я не сразу поняла, что последние 2 строки это система)

Из уравнения в симметричном виде к этим двум строчкам надо добавить еще одно урвнение. Т.е. в итоге нужна система из трех уравнений, т.к. точка пересечения прямой и перпендикуляра к ней имеет три координаты.

@Somebody · 15.11.2012, 21:23

Если не ошибаюсь, тут скалярного произведения хватит.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\vec{BD} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\-13\\28\end{pmatrix}$

@Saveli · 15.11.2012, 21:28 **[ТС]**

Третье уравнение, это уравнение прямой в симметричном виде?

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Somebody

Если не ошибаюсь, тут скалярного произведения хватит.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\vec{BD} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\-13\\28\end{pmatrix}$

Как-то подозрительно просто...
Вы уверены в решении?

@Somebody · 15.11.2012, 22:25

Небольшая поправка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}23/3\\-13/3\\-20/3\end{pmatrix}$
Думаю, теперь должно быть правильно.

@Saveli · 18.11.2012, 13:22 **[ТС]**

Сообщение от Somebody

Небольшая поправка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}23/3\\-13/3\\-20/3\end{pmatrix}$
Думаю, теперь должно быть правильно.

Ммм... у меня по вашим расчетам получается другой ответ
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}3\\5/3\\2/3\end{pmatrix}$

@Somebody · 18.11.2012, 15:21

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ - это скалярное произведение, а не поэлементное.

@Saveli · 18.11.2012, 17:19 **[ТС]**

Сообщение от Somebody

Небольшая поправка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}23/3\\-13/3\\-20/3\end{pmatrix}$
Думаю, теперь должно быть правильно.

Ещё вопрос:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)$
это векторное произведение?

@Somebody · 18.11.2012, 17:32

Сообщение от Saveli

Ещё вопрос:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)$
это векторное произведение?

Скалярное, я же написал. Векторное обычно крестиком или квадратными скобками обозначается.

@Saveli · 02.12.2012, 13:27 **[ТС]**

Сообщение от Somebody

Небольшая поправка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}23/3\\-13/3\\-20/3\end{pmatrix}$
Думаю, теперь должно быть правильно.

У меня все равно не получается...
У меня при расчетах получилось (5;-3;8)
Решала так:
BA=(3;-5;-1)
BD=(2;-1;2)
|BD|=3
BA*BD=6+5-2=9

[LATEX]P = (-1;0;2)+\left(\9*(2;-1;2)\cdot\3\right)[\LATEX]
В чем ошибка?

Добавлено через 8 минут

Сообщение от Saveli

У меня все равно не получается...
У меня при расчетах получилось (5;-3;8)
Решала так:
BA=(3;-5;-1)
BD=(2;-1;2)
|BD|=3
BA*BD=6+5-2=9

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = (-1;0;2)+\left(\9*(2;-1;2)\cdot\3\right)$
В чем ошибка?

Не то написала, исправляюсь:
У меня все равно не получается...
У меня при расчетах получилось (5;-3;8)
Решала так:
BA=(3;-5;-1)
BD=(2;-1;2)
|BD|=3
BA*BD=6+5-2=9

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = (-1;0;2)+\frac{9\cdot\(2;-1;2)}{3} = (-1;0;2)+(6;-3;6) = (5;-3;8)$
В чем ошибка?

@Somebody · 02.12.2012, 14:21

BD=(2;-1;-2), а не (2;-1;2).

@Saveli · 02.12.2012, 15:18 **[ТС]**

Сообщение от Somebody

BD=(2;-1;-2), а не (2;-1;2).

Ммм.. да, косяк

Большое спасибо)
Не могли бы вы ещё объяснить почему именно такое решение:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|}$ ?

@Somebody · 02.12.2012, 19:26

Ой, кажется, ещё ошибочка... :-(
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|}$
Надеюсь, теперь всё.
BD/|BD| - направляющий вектор, если умножить на него BA - это будет длина проекции BA на него (BA на косинус угла). Если теперь умножить длину проекции на направляющий вектор, получится сама проекция. И если прибавить B, будут координаты конца.

@Saveli · 04.12.2012, 17:35 **[ТС]**

Сообщение от Somebody

Ой, кажется, ещё ошибочка... :-(
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|}\right)\frac{\vec{BD}}{\left|\vec{BD}\right|}$
Надеюсь, теперь всё.
BD/|BD| - направляющий вектор, если умножить на него BA - это будет длина проекции BA на него (BA на косинус угла). Если теперь умножить длину проекции на направляющий вектор, получится сама проекция. И если прибавить B, будут координаты конца.

В итоге у меня получилось (23/3; -13/3; -20/3)
Какой-то странный ответ оо"

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Переходник USB-CAN-GPIO Eddy_Em 20.03.2026 Достаточно давно на работе возникла необходимость в переходнике CAN-USB с гальваноразвязкой, оный и был разработан. Однако, все меня терзала совесть, что аж 48-ногий МК используется так тупо: просто. . .	Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .
[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .

@Saveli 1 / 1 / 0 Регистрация: 29.01.2012 Сообщений: 36

	Найти проекцию точки А на прямую 15.11.2012, 18:33. Показов 7763. Ответов 15 Метки нет (Все метки) A(2;-5;1) B(-1;0;2) D(1;-1;0) Была бы не трехмерная система... А так, я запуталась Помогите пожалуйста)) 0

@Dmitrinik 539 / 399 / 99 Регистрация: 18.08.2012 Сообщений: 1,024
	15.11.2012, 19:54
	Я так понял, что прямая проходит через точки B, D? Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k={x}_{D}-{x}_{B}, m={y}_{D}-{y}_{B}, n={z}_{D}-{z}_{B}$ Тогда уравнение прямой в симметричном виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-{x}_{B}}{k}=\frac{y-{y}_{B}}{m}=\frac{z-{z}_{B}}{n}$ Теперь из точки А надо опустить перпендикуляр на эту прямую. Этот перпендикуляр определяется уравнениями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})k + (y-{y}_{A})m +(z-{z}_{A})n=0,$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x-{x}_{A})[({y}_{B}-{y}_{A})n-({z}_{B}-{z}_{A})m]+(y-{y}_{A})[({z}_{B}-{z}_{A})k-({x}_{B}-{x}_{A})n]+(z-{z}_{A})[({x}_{B}-{x}_{A})m-({y}_{B}-{y}_{A})k]$ Решение системы этих уравнений даст координаты точки-проекции. 1

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	15.11.2012, 21:23
	Если не ошибаюсь, тут скалярного произведения хватит. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\vec{BD} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}25\\-13\\28\end{pmatrix}$ 1

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	15.11.2012, 22:25
	Небольшая поправка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\right)\frac{\vec{BD}}{\left\|\vec{BD}\right\|} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}\right)\frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}}{3} = \begin{pmatrix}23/3\\-13/3\\-20/3\end{pmatrix}$ Думаю, теперь должно быть правильно. 1

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	18.11.2012, 15:21
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}3\\-5\\-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ - это скалярное произведение, а не поэлементное. 1

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	02.12.2012, 14:21
	BD=(2;-1;-2), а не (2;-1;2). 1

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	02.12.2012, 19:26
	Ой, кажется, ещё ошибочка... :-( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P = B+\left(\vec{BA}\cdot\frac{\vec{BD}}{\left\|\vec{BD}\right\|}\right)\frac{\vec{BD}}{\left\|\vec{BD}\right\|}$ Надеюсь, теперь всё. BD/\|BD\| - направляющий вектор, если умножить на него BA - это будет длина проекции BA на него (BA на косинус угла). Если теперь умножить длину проекции на направляющий вектор, получится сама проекция. И если прибавить B, будут координаты конца. 1