Сколько существует последовательностей при заданном условии?

Задача.
Сколько существует различных последовательностей из 6 символов четырехбуквенного алфавита {A, B, C, D}, которые содержат не менее двух букв А (т.е. две и более буквы А)?

Ход рассуждений.
Последовательность с шестью буквами А имеет только одну комбинацию.
Без одной буквы А имеет 3¹ комбинаций.
Без двух букв А - 3² комбинаций.
Без трех - 3³ комбинаций.
Без четырех - 3⁴.
Итого получаем 1+3¹+3²+3³+3⁴=121 комбинация.

В первую очередь правильно ли? Вроде правильно.

Меня смущает:

1) Не слишком ли громоздкое рассуждение? Не другим ли путем решается такая задача?

2) Буквы А не обязаны следовать одна за другой, а могут быть в любом месте последовательности. Отвечает ли решение этому требованию?

0

Задача решается так:
Всего вариантов у нас 4⁶, в это количество входят все возможные варианты.
Вариантов без буквы А 3⁶
Вариантов с 1 буквой А 6*3⁵
Вычитанием получаем остальные варианты:
4⁶-3⁶-6*3⁵=1909

Можно решать и по-другому, но так проще всего.
В рассуждениях ошибка сразу: без одной буквы А не 3, а 18 вариантов. Дальше ещё хуже.

1

кот Бегемот, спасибо! Только я так и не понял вашего решения.
Сидел два дня ковырялся. Мозг сломал!
Таки вывел! Или это только мне кажется? Опять.

Имеется такая формула. Сколько комбинаций занятых одним символом мест во множестве. (Как-то коряво формулировать получается).



Здесь n - количество позиций в множестве. k - количество конкретного символа, в данном множестве. Формула формула вычисляет количество комбинаций.

Рассуждаю так.

Случай с двумя А.
Количество комбинаций с оставшимися четырьмя позициями: 3⁴=81 комбинация.
Количество комбинаций позиций для А, согласно формуле: 6!/(2!*(6-2)!)=15 комбинаций.
Итого, для двух А получаем: 81*15=1215 комбинаций.

Случай с тремя А.
Количество комбинаций с оставшимися тремя позициями: 3³=27 комбинаций.
Количество комбинаций позиций для А, согласно формуле: 6!/(3!*(6-3)!)=20 комбинаций.
Итого, для трех А получаем: 27*20=540 комбинаций.

Случай с четырьмя А.
Количество комбинаций с оставшимися двумя позициями: 3²=9 комбинаций.
Количество комбинаций позиций для А, согласно формуле: 6!/(4!*(6-4)!)= 15 комбинаций.
Итого, для четырех А получаем: 9*15=135 комбинаций.

Случай с пятью А.
Количество комбинаций с оставшейся одной позицией: 3¹=3 комбинации.
Количество комбинаций позиций для А, согласно формуле: 6!/(5!*(6-5)!)= 6 комбинаций.
Итого, для пяти А получаем: 3*6=18 комбинаций.

С шестью А комбинация одна.

Суммируем:1215+540+135+18+1=1909 комбинаций.

Уффф...

Да, в параграфе учебника приводилась эта формула, но я должного внимания ей не уделил.

Не элегантно ни разу, но если правильно, то следовал науке, изложенной в учебнике!)

0

Bazaroff, Вы правы, здесь надо использовать формулу сочетаний из комбинаторики. Просто Вы решали задачу "в лоб", а выгоднее решать её с другого конца, это менее затратно и по времени, и по длине решения. Я поясню, как она решается: вместо того, чтобы искать все возможные сочетания от 2 до 6 букв А, мы ищем только сочетания с одной буквой А и комбинации без буквы А, это, соответственно, 6*3⁵ и 3⁶. Теперь, зная, что всего существует 4⁶ разных сочетаний из 4 букв в шестисимвольном слове, просто отнимаем из 4⁶ найденные количества без буквы А и с одной буквой А, разность и даст нам искомое число

2