Вычислить приближенное значение функции y(x) при x=x0 c заданной точностью до ε разложив её на ряд Маклорена

/**
 * Дана функция f(x) = x^2 * e^x
 * т.к. ряд Маклорена - это ряд Тейлора в точке x = 0, то
 * разложим функцию на ряд Тейлора в точке 0:
 * <p>
 * 1-й ряд
 * f`(x) = (x^2 * e^x)` = (x^2)` * e^x + x^2 * (e^x)` = 2x * e^x + x^2 * e^x;
 * f`(0) = 0
 * <p>
 * 2-й ряд
 * f``(x) = (2x * e^x + x^2 * e^x)` = (2x)` * e^x + 2x * (e^x)` + (x^2)` * e^x + x^2 * (e^x)` =
 * = 2 * e^x + 2x * e^x + 2x * e^x + x^2 * e^x = 2 * e^x + 4x * e^x + x^2 * e^x;
 * f``(0) = 2;
 * <p>
 * 3-й ряд
 * f```(x) = ... = x^2 * e^x + 6x * e^x + 6 * e^x;
 * f```(0) = 6;
 * <p>
 * 4-й ряд
 * f````(x) = ... = x^2 * e^x + 8x * e^x + 12 * e^x;
 * <p>
 * итоговый ряд:
 * 2x * e^x = 0 + (0x / 1!) + (2x^2 / 2!) + (6x^3 / 3!) + (12x^4 / 4!)...
 */
public class Task04 {
    private static double e = 0.001;
    private static double x1 = 0.3;
    private static double x2 = 0.5;
 
    public static void main(String[] args) {
        System.out.printf("GIVE: x = %.2f, e = %.5f;\n", x1, e);
        solution(x1, e);
 
        System.out.printf("\n\nGIVE: x = %.2f, e = %.5f;\n", x2, e);
        solution(x2, e);
    }
 
    private static void solution(double x, double e) {
        double sum = 0.;
        double fx0 = 0;
        double fx = 1.;
 
        double numerator = 0;
        int fact = 1;
        int n = 1;
        while(Math.abs(fx - fx0) > e) {
            fx0 = fx;
            numerator += (n - 1) * 2;     // высчитываем числитель;
            fact *= n;                    //высчитываем факториал;
            fx = (numerator * x) / fact;  //считаем для данного ряда формулу;
            sum += fx;
            System.out.println("ITERATION #" + n + ":");
            System.out.printf("   %.0f * x^%d / %d! = ", numerator, n, n);
            System.out.printf("   %.0f * %.15f / %d = %.15f;\n", numerator, x, fact, fx);
            System.out.printf("   Sum : %.10f;\n\n", sum);
            x *= x;                       //возводим в степень x;
            n++;
        }
    }
}

GIVE: x = 0,30, e = 0,00100;
ITERATION #1:
   0 * x^1 / 1! =    0 * 0,300000000000000 / 1 = 0,000000000000000;
   Sum : 0,0000000000;
 
ITERATION #2:
   2 * x^2 / 2! =    2 * 0,090000000000000 / 2 = 0,090000000000000;
   Sum : 0,0900000000;
 
ITERATION #3:
   6 * x^3 / 3! =    6 * 0,008100000000000 / 6 = 0,008100000000000;
   Sum : 0,0981000000;
 
ITERATION #4:
   12 * x^4 / 4! =    12 * 0,000065610000000 / 24 = 0,000032805000000;
   Sum : 0,0981328050;
 
ITERATION #5:
   20 * x^5 / 5! =    20 * 0,000000004304672 / 120 = 0,000000000717445;
   Sum : 0,0981328057;
 
 
 
GIVE: x = 0,50, e = 0,00100;
ITERATION #1:
   0 * x^1 / 1! =    0 * 0,500000000000000 / 1 = 0,000000000000000;
   Sum : 0,0000000000;
 
ITERATION #2:
   2 * x^2 / 2! =    2 * 0,250000000000000 / 2 = 0,250000000000000;
   Sum : 0,2500000000;
 
ITERATION #3:
   6 * x^3 / 3! =    6 * 0,062500000000000 / 6 = 0,062500000000000;
   Sum : 0,3125000000;
 
ITERATION #4:
   12 * x^4 / 4! =    12 * 0,003906250000000 / 24 = 0,001953125000000;
   Sum : 0,3144531250;
 
ITERATION #5:
   20 * x^5 / 5! =    20 * 0,000015258789063 / 120 = 0,000002543131510;
   Sum : 0,3144556681;
 
ITERATION #6:
   30 * x^6 / 6! =    30 * 0,000000000232831 / 720 = 0,000000000009701;
   Sum : 0,3144556681;
 
 
Process finished with exit code 0