Найти массу пластинки (двойной интеграл)

@DannyCaesar · Регистрация: 28.05.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте. Мне в задании необходимо найти массу пластинки, ограниченной кривыми: x^2+y^2<=9 и y>=x. И дана плотность p=x^2+y^2
Проблема в том, что я не могу никак определить области изменения x и у по графику.
А график получается такой:
[]http://cs619916****/v619916603/6700/FnbxK7Ui-oI.jpg[/]
Я перешёл к полярным координатам, но на самом деле только запутался.
Может, кто представляет, как найти область для интеграла?
[]http://cs619916****/v619916603/6700/FnbxK7Ui-oI.jpg[/]

Комментарий модератора

Правила форума

Правила, 5.18. Запрещено размещать задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом.

Задания набирать ручками. Один вопрос - одна тема. Для формул есть редактор.

Рекомендации по созданию темы

@jannne · 30.05.2014, 18:35

Рисунок будет такой:

@jannne · 30.05.2014, 18:45

И к полярным координатам лучше не переходить.
Интеграл будет такой:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\int_{-3}^{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}dx\int_{-\sqrt{9-{x}^{2}}}^{0}\rho (x,y)dy+\int_{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{0}dx\int_{x}^{0}\rho (x,y)dy+\int_{-3}^{0}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}\rho (x,y)dy+\int_{0}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}dx\int_{x}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}\rho (x,y)dy$
Интегрируйте на здоровье!

@DannyCaesar · 30.05.2014, 20:17 **[ТС]**

Огромное Вам человеческое спасибо)

@jannne · 02.06.2014, 13:55

Кстати говоря, чтобы проверить себя можно сделать следующее:
можно заметить, что плотность пластинки зависит только от расстояния до ее центра, и требуется найти массу половины пластинки. Ясно, что все равно, массу какой именно половинки искать. Проще всего найти массу удвоенной первой четверти пластинки:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=2\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2})dy$
У меня получилось
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=18(1+\frac{\pi }{16})$

@tarasso · 03.06.2014, 00:04

Я перешёл к полярным координатам, но на самом деле только запутался.

DannyCaesar, все намного проще, как Вам кажется...

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\pi +\frac{\pi }{4}}d\varphi \: \int_{0}^{3}{\rho }^{2}\cdot \rho d\rho =9\pi$

@jannne · 03.06.2014, 14:07

DannyCaesar,
Извиняюсь, я сначала ошиблась,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=2\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}[{x}^{2}+{y}^{2}]dy=\frac{81\pi }{4}$

tarasso, на самом деле,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\pi +\frac{\pi }{4}}d\varphi \int_{0}^{3}{\rho }^{2}\rho d\rho =\pi \frac{{\rho }^{4}}{4}{{\mid}^{3}}_{0} =\frac{81\pi }{4}$

@tarasso · 03.06.2014, 19:15

Согласен.

@DannyCaesar · 05.06.2014, 00:24 **[ТС]**

Спасибо за помощь, на деле действительно в двух вариантах один и тот же ответ получается) решил двумя методами

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	30.05.2014, 18:35
	Рисунок будет такой: Миниатюры 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	30.05.2014, 18:45
	Сообщение было отмечено DannyCaesar как решение Решение И к полярным координатам лучше не переходить. Интеграл будет такой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\int_{-3}^{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}dx\int_{-\sqrt{9-{x}^{2}}}^{0}\rho (x,y)dy+\int_{-\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{0}dx\int_{x}^{0}\rho (x,y)dy+\int_{-3}^{0}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}\rho (x,y)dy+\int_{0}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}dx\int_{x}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}\rho (x,y)dy$ Интегрируйте на здоровье! 0

@DannyCaesar 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.05.2014 Сообщений: 5
	30.05.2014, 20:17 [ТС]
	Огромное Вам человеческое спасибо) 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	02.06.2014, 13:55
	Кстати говоря, чтобы проверить себя можно сделать следующее: можно заметить, что плотность пластинки зависит только от расстояния до ее центра, и требуется найти массу половины пластинки. Ясно, что все равно, массу какой именно половинки искать. Проще всего найти массу удвоенной первой четверти пластинки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=2\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}({x}^{2}+{y}^{2})dy$ У меня получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=18(1+\frac{\pi }{16})$ 0

@jannne 137 / 137 / 21 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 296
	03.06.2014, 14:07
	DannyCaesar, Извиняюсь, я сначала ошиблась, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=2\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{\sqrt{9-{x}^{2}}}[{x}^{2}+{y}^{2}]dy=\frac{81\pi }{4}$ tarasso, на самом деле, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\pi +\frac{\pi }{4}}d\varphi \int_{0}^{3}{\rho }^{2}\rho d\rho =\pi \frac{{\rho }^{4}}{4}{{\mid}^{3}}_{0} =\frac{81\pi }{4}$ 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 963
	03.06.2014, 19:15
	Согласен. 0

@DannyCaesar 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.05.2014 Сообщений: 5
	05.06.2014, 00:24 [ТС]
	Спасибо за помощь, на деле действительно в двух вариантах один и тот же ответ получается) решил двумя методами 0

Найти массу пластинки (двойной интеграл)

Решение