Доказать тождество методом математической индукции

@Чкунгачкук · Регистрация: 05.06.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Есть вот такое тождество, которое требуется доказать методом математической индукции: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2n-1)a =sin2na/2sina

Действовал по методу описном здесь - http://www.cleverstudents.ru/a... ction.html и застрял на пункте когда нам надо проверить тождество при n=k+1.

У меня получилось следующие: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2k-1)a+cos(2ka+a)=(sin2ka/2sina)+cos(2ka+a), далее я преобразовываю правую часть: (sin2ka+2sin(a)cos(2ka+a))/2sina. Вот тут собственно у меня и проблема возникает - я не могу упростить это выражение, чтобы доказать тождество. Если начать с помощью тригонометрических формул это выражение раскладывать с целью упрощения, то выходит трехэтажное выражение с которым ничего поделать не получается. Возможно я что то не так понял и туплю. Объясните пожалуйста как доказать это тождество.

@Alamira · 11.01.2015, 08:47

Вы все верно начали делать. Рассмотрю лишь преобразование числителя последней дроби:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(2k\alpha)+2sin\alpha cos(2k\alpha +\alpha )=sin(2k\alpha)+2sin\alpha (cos(2k\alpha)cos\alpha-sin(2k\alpha )sin\alpha )=sin(2k\alpha)(1-2{sin}^{2}\alpha)+ cos(2k\alpha)(2sin\alpha cos\alpha)=<br /> =sin(2k\alpha)cos2\alpha+ cos(2k\alpha)sin2\alpha=sin(2k\alpha+2\alpha )=sin(2(k+1)\alpha)$ .
Это и требовалось получить в числителе дроби. Знаменатель остается прежним. Бояться меньше надо, Чкунгачкук, "трехэтажных" выражений.

@Чкунгачкук · 11.01.2015, 10:20 **[ТС]**

Благодарю Alamira,

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@Чкунгачкук 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.06.2014 Сообщений: 5

	Доказать тождество методом математической индукции 11.01.2015, 06:26. Показов 1432. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Есть вот такое тождество, которое требуется доказать методом математической индукции: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2n-1)a =sin2na/2sina Действовал по методу описном здесь - http://www.cleverstudents.ru/a... ction.html и застрял на пункте когда нам надо проверить тождество при n=k+1. У меня получилось следующие: cosa+cos3a+cos5a+...+cos(2k-1)a+cos(2ka+a)=(sin2ka/2sina)+cos(2ka+a), далее я преобразовываю правую часть: (sin2ka+2sin(a)cos(2ka+a))/2sina. Вот тут собственно у меня и проблема возникает - я не могу упростить это выражение, чтобы доказать тождество. Если начать с помощью тригонометрических формул это выражение раскладывать с целью упрощения, то выходит трехэтажное выражение с которым ничего поделать не получается. Возможно я что то не так понял и туплю. Объясните пожалуйста как доказать это тождество. 0

@Alamira 163 / 151 / 36 Регистрация: 04.11.2014 Сообщений: 303
	11.01.2015, 08:47
	Вы все верно начали делать. Рассмотрю лишь преобразование числителя последней дроби: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?sin(2k\alpha)+2sin\alpha cos(2k\alpha +\alpha )=sin(2k\alpha)+2sin\alpha (cos(2k\alpha)cos\alpha-sin(2k\alpha )sin\alpha )=sin(2k\alpha)(1-2{sin}^{2}\alpha)+ cos(2k\alpha)(2sin\alpha cos\alpha)=<br /> =sin(2k\alpha)cos2\alpha+ cos(2k\alpha)sin2\alpha=sin(2k\alpha+2\alpha )=sin(2(k+1)\alpha)$ . Это и требовалось получить в числителе дроби. Знаменатель остается прежним. Бояться меньше надо, Чкунгачкук, "трехэтажных" выражений. 1

@Чкунгачкук 0 / 0 / 0 Регистрация: 05.06.2014 Сообщений: 5
	11.01.2015, 10:20 [ТС]
	Благодарю Alamira, 0