Поиск общего члена ряда

@true_attack · Регистрация: 15.08.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Необходимо разложить функцию в ряд Маклорена и найти ее интеграл на отрезке [0;1] с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ = 0.01. Разложив до 171 члена ряда стало понятно, что откидыванием последнего члена, добьемся лишь погрешности чуть меньшей 0.05. Хотя для того, чтобы полученный из разложения интеграл отличался от точного значения на погрешность меньшую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ , достаточно откинуть лишь О( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{13}$ ). Воспользоваться таким решением увы не могу, так как в конечном итоге предстоит написать программу, считающую интегральную сумму до тех пор, пока последующий член ряда больше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ . Увидеть закономерность и найти общий член ряда мне самостоятельно не удается, поэтому прошу помощи у Вас.

f(x) = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{(1 + {x}^{4})}}$

@palva · 13.01.2018, 22:34

Есть же стандартное разложение. Смотрите здесь биномиальный ряд. https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%BD%D0%B0
Только непонятно, что вы дальше будете делать без компьютера. В точке 1 ряд не сходится. Непонятно, как давать в этом случае оценку.

@true_attack · 13.01.2018, 22:48 **[ТС]**

Что функцию можно разложить в ряд стандартным образом - очевидно. Это уже было проделано и вручную, и с помощью вольфрама. Так как на этапе ручного счета стало ясно, что парой членов ряда будет не достаточно. Задача состоит в том, что нужно вычленить из разложения общий член. Прилагаю часть разложения.

@palva · 13.01.2018, 23:01

Ну так там и записан общий член. В числителе произведение скобок в знаменателе факториал. Для альфа = -1/2 числитель тоже можно выразить через факториалы и степени двойки. Вы это имеете в виду?

@true_attack · 13.01.2018, 23:10 **[ТС]**

Ряд уже записан через:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}$
Само разложение можно посмотреть на изображении к посту выше. Теперь нужно в данном разложении углядеть закономерности и найти в конечном итоге общий член.

@palva · 13.01.2018, 23:33

Все-таки я не понимаю проблемы. Разве в этом разложении нет общего члена? Есть нулевой член, первый, второй, энный, ...

@true_attack · 14.01.2018, 00:40 **[ТС]**

Энного как раз таки нет. Покажу на примере то, что хочу получить.
Имеем ряд вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 + \frac{5}{9} + \frac{7}{27} + \frac{1}{27}$ ...
Соответственно общий член ряда примет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2n+1}{{3}^{n}}$ ,
а сам ряд: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{1}^{\infty } \frac{2n+1}{{3}^{n}}$
Исходя из этого, я смогу получить любой член ряда, зная его номер.

@palva · 14.01.2018, 00:45

То есть следующая запись вам почему-то не подходит. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^{4n}$

@true_attack · 14.01.2018, 01:11 **[ТС]**

Похоже я настолько уработался, что не вижу очевидного) Да, действительно подходит. В данном случае придется каждый член ряда подсчитывать рекурсивно.

@palva · 14.01.2018, 01:39

Сообщение от true_attack

рекурсивно.

В смысле рекуррентно. Можно еще для красоты записать так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}x^{4n}$ Но для вычислений лучше оставить, как есть.

Добавлено через 15 минут
О! Вот такая форма удобна для вычислений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdot\cdot\cdot\frac{n-1}{n}$
Проверьте только, не ошибся ли я.

@true_attack · 14.01.2018, 02:48 **[ТС]**

Мне вполне сгодилась 2 формула, так как я считаю ряд через рекурсивный подсчет факториала (программным образом), поэтому и написал о рекурсии, а не рекуррентности. Спасибо за помощь, очень выручили, ибо я так и плавал бы вокруг да около готового решения)

Добавлено через 58 минут
И да, ошибка все таки есть, пропущен множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( {-1}^{n}\right)$ . Ряд же знакочередующийся изначально был.

@palva · 14.01.2018, 02:59

Сообщение от true_attack

И да, ошибка все таки есть

Да, точно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21

	Поиск общего члена ряда 13.01.2018, 22:19. Показов 1464. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Необходимо разложить функцию в ряд Маклорена и найти ее интеграл на отрезке [0;1] с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ = 0.01. Разложив до 171 члена ряда стало понятно, что откидыванием последнего члена, добьемся лишь погрешности чуть меньшей 0.05. Хотя для того, чтобы полученный из разложения интеграл отличался от точного значения на погрешность меньшую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ , достаточно откинуть лишь О( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{13}$ ). Воспользоваться таким решением увы не могу, так как в конечном итоге предстоит написать программу, считающую интегральную сумму до тех пор, пока последующий член ряда больше $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varepsilon$ . Увидеть закономерность и найти общий член ряда мне самостоятельно не удается, поэтому прошу помощи у Вас. f(x) = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt{(1 + {x}^{4})}}$ 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,910 Записей в блоге: 4
	13.01.2018, 22:34
	Есть же стандартное разложение. Смотрите здесь биномиальный ряд. https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%BD%D0%B0 Только непонятно, что вы дальше будете делать без компьютера. В точке 1 ряд не сходится. Непонятно, как давать в этом случае оценку. 0

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21
	13.01.2018, 22:48 [ТС]
	Что функцию можно разложить в ряд стандартным образом - очевидно. Это уже было проделано и вручную, и с помощью вольфрама. Так как на этапе ручного счета стало ясно, что парой членов ряда будет не достаточно. Задача состоит в том, что нужно вычленить из разложения общий член. Прилагаю часть разложения. Миниатюры 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,910 Записей в блоге: 4
	13.01.2018, 23:01
	Ну так там и записан общий член. В числителе произведение скобок в знаменателе факториал. Для альфа = -1/2 числитель тоже можно выразить через факториалы и степени двойки. Вы это имеете в виду? 0

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21
	13.01.2018, 23:10 [ТС]
	Ряд уже записан через: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}$ Само разложение можно посмотреть на изображении к посту выше. Теперь нужно в данном разложении углядеть закономерности и найти в конечном итоге общий член. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,910 Записей в блоге: 4
	13.01.2018, 23:33
	Все-таки я не понимаю проблемы. Разве в этом разложении нет общего члена? Есть нулевой член, первый, второй, энный, ... 0

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21
	14.01.2018, 00:40 [ТС]
	Энного как раз таки нет. Покажу на примере то, что хочу получить. Имеем ряд вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 + \frac{5}{9} + \frac{7}{27} + \frac{1}{27}$ ... Соответственно общий член ряда примет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2n+1}{{3}^{n}}$ , а сам ряд: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{1}^{\infty } \frac{2n+1}{{3}^{n}}$ Исходя из этого, я смогу получить любой член ряда, зная его номер. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,910 Записей в блоге: 4
	14.01.2018, 00:45
	Сообщение было отмечено true_attack как решение Решение То есть следующая запись вам почему-то не подходит. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n=0}^{\infty}\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^{4n}$ 1

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21
	14.01.2018, 01:11 [ТС]
	Похоже я настолько уработался, что не вижу очевидного) Да, действительно подходит. В данном случае придется каждый член ряда подсчитывать рекурсивно. 0

@true_attack 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.08.2017 Сообщений: 21
	14.01.2018, 02:48 [ТС]
	Мне вполне сгодилась 2 формула, так как я считаю ряд через рекурсивный подсчет факториала (программным образом), поэтому и написал о рекурсии, а не рекуррентности. Спасибо за помощь, очень выручили, ибо я так и плавал бы вокруг да около готового решения) Добавлено через 58 минут И да, ошибка все таки есть, пропущен множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( {-1}^{n}\right)$ . Ряд же знакочередующийся изначально был. 0

Поиск общего члена ряда

Решение