Разложить в ряд

@Cradle · Регистрация: 03.04.2015

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Само задание звучит как: Найти фундаментальную полосу преобразования Меллина функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
Я не могу понять, как разложить наше выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{1+x^2}$ в ряд Маклорена. Точнее, в ряд я могу, но мне нужна именно сумма. По типу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? e^x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n!}$ А этого не могу. Помогите пожалуйста разобраться :с

@helter · 16.01.2018, 02:08

Это сумма убывающей геометрической прогрессии.

@InDevRus · 17.01.2018, 06:40

Нам известно, что на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1;1\right)$ имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\ln\left(1+x\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty }_{k=1}^{ }\frac{\left(-1\right)^kx^k}{k}$ .
Подставим вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ .
Получим новый ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^kx^{2k}}{k}$ , радиус сходимости которого по-прежнему равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1;1\right)$ .
Продифференцируем последний ряд почленно (радиус сходимости от этого не изменится): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{x^2+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^kx^{2k-1}$ .

@Cradle · 17.01.2018, 09:08 **[ТС]**

Всем спасибо за ответы.

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
		1
	Разложить в ряд 15.01.2018, 19:11. Показов 932. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Само задание звучит как: Найти фундаментальную полосу преобразования Меллина функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ Я не могу понять, как разложить наше выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{1+x^2}$ в ряд Маклорена. Точнее, в ряд я могу, но мне нужна именно сумма. По типу $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? e^x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n!}$ А этого не могу. Помогите пожалуйста разобраться :с 0

@helter 4527 / 3521 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	16.01.2018, 02:08	2
	Сообщение было отмечено Cradle как решение Решение Это сумма убывающей геометрической прогрессии. 0

@InDevRus 69 / 59 / 18 Регистрация: 23.01.2017 Сообщений: 170
	17.01.2018, 06:40	3
	Нам известно, что на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1;1\right)$ имеется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\ln\left(1+x\right)=\frac{1}{2}\sum^{\infty }_{k=1}^{ }\frac{\left(-1\right)^kx^k}{k}$ . Подставим вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ . Получим новый ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^kx^{2k}}{k}$ , радиус сходимости которого по-прежнему равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-1;1\right)$ . Продифференцируем последний ряд почленно (радиус сходимости от этого не изменится): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x}{x^2+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^kx^{2k-1}$ . 0

@Cradle 0 / 0 / 0 Регистрация: 03.04.2015 Сообщений: 51
	17.01.2018, 09:08 [ТС]	4
	Всем спасибо за ответы. 0

Разложить в ряд

Решение