Доказать, что, если f’ (x) – нечетная функция, то f (x) – четная функция

@Мориарчи · Регистрация: 11.11.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что, если если f’ (x) – нечетная функция, то f (x) –четная функция

@mathmichel · 18.06.2020, 09:43

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(-x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=\lim_{-\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x-\Delta x)-f(-x)}{-\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-(f(x+\Delta x)-f(x))}{-\Delta x}=f'(x)$

Добавлено через 26 минут
Вообще говоря, было доказано утверждение, что для нечетной функции f(x) её производная - четная функция. А требовалось наоборот. Подправим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(-x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=\lim_{-\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x-\Delta x)-f(-x)}{-\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=-f'(x)$

Байт · 18.06.2020, 10:36

mathidiot, таки я не понял, что вы доказали.
Имхо, Вы доказали "f(x) - четная => f'(x) - нечетная". А нужно в другую сторону.
Поэтому пометку "Лучший ответ" я снимаю. Чтобы не вводить публику в заблуждение. Вы уж меня простите великодушно.

Я думаю, здесь надо идти от противного. И где-то воспользоваться непрерывностью функции f(x)
Проще воспользоваться тем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = \int_{0}^{x} f'(t)dt$
Но эта задача могла возникнуть до изучения интегралов.

@mathmichel · 18.06.2020, 10:51

Байт, а что мешает в моем доказательстве всё развернуть слева направо?

Байт · 18.06.2020, 15:04

Сообщение от mathidiot

Байт, а что мешает в моем доказательстве всё развернуть слева направо?

Покажите, пожалуйста. Если не лень, конечно.

Добавлено через 4 часа 4 минуты
Может быть пойти по такому пути.
Любая функция с симметричной областью определения одназначно раскладывается на сумму четной и нечетной.
f(x) = fc(x) + fn(x)
f'(x) = fc'(x) + fn'(x)
При этом легко показать (собственно, это уже сделал уважаемый mathidiot), что fc' - нечетная, fn' - четная.
Из единственности разложения следует, что fn'(x) = 0. Отсюда fn(x) = C = (в силу нечетности) 0 => f(x) = fc(x) - четная.
Как будто все логично. Но сегодня так жарко, что мог и ошибиться...

@mihailm · 18.06.2020, 16:33

Добавлено через 4 минуты
От промежутка зависит.
Например у y=ln(x), при x>0 и y=ln(-x)+1, при x<0
производная нечетная, но она сама не совсем четная.

А так как в док-ве mathidiot не упоминаются никакие области определения, то оно не верно , с начала его читай или с конца.

Байт · 18.06.2020, 19:50

Червь сомнения грыз меня не зря. Вот кусочно определенная функция
f(x) = 2-x при x <= 1
f(x) = x при x >= 1
Ее производная нечетна. А сама она, как и примере уважаемого mihailm, Увы! То есть для произвольной симметричной области определения утверждение стартового поста неверно.
А в чем огрех моего доказательства? Вот это место

Сообщение от Байт

Отсюда fn(x) = C = (в силу нечетности) 0

Дело в том, что для разных кусков С могут быть разными!
Значит надо добавить непрерывность области определения. И тогда вроде, все тип-топ.

Добавлено через 8 минут

Сообщение от mihailm

в док-ве mathidiot не упоминаются никакие области определения, то оно не верно ,

А вот это - пустое замечание. Когда говорят о четности-нечетности, симметричность области определения как бы подразумевается. И совсем не обязательно это специально подчеркивать. Тем более на форуме, где допустима некоторая "скоропись" идей и доказательств
В моем док-ве в посте 6 я был вынужден говорить об симметрии областей. Потому что в словах "любая функция", с которых оно начинается, никакой симметрии нет, и нигде она не подразумевается.

@mihailm · 18.06.2020, 19:59

Сообщение от Байт

А вот это - пустое замечание. Когда говорят о четности-нечетности, симметричность области определения как бы подразумевается.

Вот хлебом вас не корми дай поспорить.
Речь у меня шла естественно о симметричной области определения, но например с выкинутым нулем.
Ваш пример некорректен для всех икс, так как в нуле нету производной в вашем примере!
Все из темы ушел)

Байт · 18.06.2020, 20:15

Не по теме:

Сообщение от mihailm

Все из темы ушел)

Слава Богу!

Добавлено через 10 минут

Сообщение от Байт

f(x) = 2-x при x <= 1

Тут у меня описка. Следует читать
f(x) = 2-x при x <= -1

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@Мориарчи 2 / 2 / 0 Регистрация: 11.11.2018 Сообщений: 214

	Доказать, что, если f’ (x) – нечетная функция, то f (x) – четная функция 18.06.2020, 07:37. Показов 5183. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Доказать, что, если если f’ (x) – нечетная функция, то f (x) –четная функция 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11084 / 7383 / 3992 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,820
	18.06.2020, 09:43
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(-x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=\lim_{-\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x-\Delta x)-f(-x)}{-\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-(f(x+\Delta x)-f(x))}{-\Delta x}=f'(x)$ Добавлено через 26 минут Вообще говоря, было доказано утверждение, что для нечетной функции f(x) её производная - четная функция. А требовалось наоборот. Подправим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'(-x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=\lim_{-\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(-x-\Delta x)-f(-x)}{-\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=-f'(x)$ 2

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	18.06.2020, 10:36
	mathidiot, таки я не понял, что вы доказали. Имхо, Вы доказали "f(x) - четная => f'(x) - нечетная". А нужно в другую сторону. Поэтому пометку "Лучший ответ" я снимаю. Чтобы не вводить публику в заблуждение. Вы уж меня простите великодушно. Я думаю, здесь надо идти от противного. И где-то воспользоваться непрерывностью функции f(x) Проще воспользоваться тем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x) = \int_{0}^{x} f'(t)dt$ Но эта задача могла возникнуть до изучения интегралов. 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11084 / 7383 / 3992 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,820
	18.06.2020, 10:51
	Байт, а что мешает в моем доказательстве всё развернуть слева направо? 0

@mihailm 1720 / 1158 / 302 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,636
	18.06.2020, 16:33
	Добавлено через 4 минуты От промежутка зависит. Например у y=ln(x), при x>0 и y=ln(-x)+1, при x<0 производная нечетная, но она сама не совсем четная. А так как в док-ве mathidiot не упоминаются никакие области определения, то оно не верно , с начала его читай или с конца. 0