Эйлеровы интегралы

@igorperzh · Регистрация: 30.05.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

С помощью эйлеровых интегралов необходимо вычислить:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\pi / 2}\frac{{tg^{\alpha }x}}{{(sin x + cos x)}^{2}}dx$
Прошу помощи в его решении, какая замена здесь будет наиболее удачной?
За полное решение буду бесконечно благодарен, но и подсказкам буду тоже благодарен.

@splen · 06.06.2012, 13:07

Полагая

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{1+tg x}=t$ ,

получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{{(sin x + cos x)}^{2}}=-dt$

и интеграл преобразуется к виду:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{(\frac{1}{t}-1)}^{\alpha }dt$

или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\frac{dt}{{t}^{p-1}{(1-t)}^{q-1}}=B(p,q),$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\alpha +1,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=-\alpha +1.$

@Том Ардер · 06.06.2012, 13:12

замена переменной
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=tg x$
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=tg \frac{x}{2}$

Вторая представляется мне более подходящей.

@igorperzh · 06.06.2012, 19:21 **[ТС]**

Сообщение от splen

Полагая

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{1+tg x}=t$ ,

получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{{(sin x + cos x)}^{2}}=-dt$

и интеграл преобразуется к виду:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{(\frac{1}{t}-1)}^{\alpha }dt$

или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\frac{dt}{{t}^{p-1}{(1-t)}^{q-1}}=B(p,q),$

где

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\alpha +1,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=-\alpha +1.$

Спасибо, но поправочка
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}t^{p-1}{(1-t)}^{q-1}{dt}=B(p,q),$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=-\alpha +1,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=\alpha +1.$

@splen · 06.06.2012, 19:25

Конечно...

@igorperzh · 06.06.2012, 20:06 **[ТС]**

Сообщение от splen

Конечно...

странно у меня получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha \pi }{2sin \pi \alpha }$
а в ответах дан ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\alpha \pi }{sin \pi \alpha }$

@Том Ардер · 06.06.2012, 20:28

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(1-\alpha ,1+\alpha )=\frac{\Gamma (1-\alpha )\Gamma (1+\alpha )}{\Gamma (2)}=\frac{\alpha \Gamma (\alpha )\Gamma (1-\alpha )}{\Gamma (2)}=\frac{\alpha \pi }{\sin \pi \alpha }$

( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma (2)=1!=1$ )

@igorperzh · 06.06.2012, 20:30 **[ТС]**

Спасибо всем

, вопрос решен.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@igorperzh 3 / 3 / 0 Регистрация: 30.05.2011 Сообщений: 41

	Эйлеровы интегралы 06.06.2012, 12:24. Показов 5314. Ответов 7 Метки нет (Все метки) С помощью эйлеровых интегралов необходимо вычислить: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\pi / 2}\frac{{tg^{\alpha }x}}{{(sin x + cos x)}^{2}}dx$ Прошу помощи в его решении, какая замена здесь будет наиболее удачной? За полное решение буду бесконечно благодарен, но и подсказкам буду тоже благодарен. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	06.06.2012, 13:07
	Полагая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{1+tg x}=t$ , получаем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dx}{{(sin x + cos x)}^{2}}=-dt$ и интеграл преобразуется к виду: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{(\frac{1}{t}-1)}^{\alpha }dt$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}\frac{dt}{{t}^{p-1}{(1-t)}^{q-1}}=B(p,q),$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p=\alpha +1,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=-\alpha +1.$ 2

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	06.06.2012, 13:12
	замена переменной $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=tg x$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=tg \frac{x}{2}$ Вторая представляется мне более подходящей. 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	06.06.2012, 19:25
	Конечно... 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	06.06.2012, 20:28
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(1-\alpha ,1+\alpha )=\frac{\Gamma (1-\alpha )\Gamma (1+\alpha )}{\Gamma (2)}=\frac{\alpha \Gamma (\alpha )\Gamma (1-\alpha )}{\Gamma (2)}=\frac{\alpha \pi }{\sin \pi \alpha }$ ( $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma (2)=1!=1$ ) 2

@igorperzh 3 / 3 / 0 Регистрация: 30.05.2011 Сообщений: 41
	06.06.2012, 20:30 [ТС]
	Спасибо всем, вопрос решен. 0