Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0

@Coverete · Регистрация: 26.09.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)-\frac{sin(nx)}{sin(x)}}{{x}^{2}}$

@cmath · 04.11.2012, 21:39

Сообщение от Coverete

Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0

Для начала надо бы найти предел от вашей функции при x->0.

Байт · 04.11.2012, 23:03

Выразить cos по формуле Эйлера, получится пара геометрических прогрессий...

@Coverete · 04.11.2012, 23:56 **[ТС]**

а можно как-нибудь без формул Эйлера?

Добавлено через 3 минуты
К слову предел бесконечность, вроде

@cmath · 05.11.2012, 08:34

Сообщение от Coverete

К слову предел бесконечность, вроде

Со знаком минус, кст:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin nx}{\sin x}\sim \frac{nx}{x}=n$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos nx = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(nx)^{2k}}{(2k)!}$
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}\cos mx = n+\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(mx)^{2k}}{(2k)!}$
4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sum_{m=1}^{n}\cos mx - \frac{\sin nx}{\sin x}}{x^2}\sim \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^kn^{2k}x^{2(k-1)}}{(2k)!}$
Все слагаемые k>1 -> 0, поэтому:
5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^km^{2k}x^{2(k-1)}}{(2k)!}\sim \sum_{m=1}^{n}\frac{-n^2}{2}$
Т.е. функция f(x) терпит разрыв в нуле второго рода. Честно, не знаю как ее в этом случае доопределить до непрерывности в нуле. Имхо это сделать нельзя.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Байт

Выразить cos по формуле Эйлера,

Это в смысле:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ ?
Чего это даст?

Байт · 05.11.2012, 09:48

Сообщение от cmath

Чего это даст?

Получится 2 геометрические прогрессии, их суммы легко считаются, все выражение примет конечный вид. И вычисления будут попроще.
Вообще-то где-то я встречал формулу для суммы cos x +... + cos nx и наверное есть способ вывести эту формулу без Эйлера, но ИМХО по Эйлеру ее вывод самый простой, "лобовой"

@Coverete · 05.11.2012, 11:31 **[ТС]**

Сообщение от cmath

Со знаком минус, кст:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sin nx}{\sin x}\sim \frac{nx}{x}=n$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos nx = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(nx)^{2k}}{(2k)!}$
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}\cos mx = n+\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(mx)^{2k}}{(2k)!}$
4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sum_{m=1}^{n}\cos mx - \frac{\sin nx}{\sin x}}{x^2}\sim \sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^kn^{2k}x^{2(k-1)}}{(2k)!}$
Все слагаемые k>1 -> 0, поэтому:
5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^km^{2k}x^{2(k-1)}}{(2k)!}\sim \sum_{m=1}^{n}\frac{-n^2}{2}$
Т.е. функция f(x) терпит разрыв в нуле второго рода. Честно, не знаю как ее в этом случае доопределить до непрерывности в нуле. Имхо это сделать нельзя.

Все правильно, но можно было легче через замечательные пределы и следствия из них, а так, у меня идея, а что если рассмотреть n четное и n нечетное?

Байт · 05.11.2012, 12:05

Сообщение от Coverete

предел бесконечность, вроде

При n=1 получается -1/2
При n=2 у меня получилась бесконечность. (мог и ошибиться)

Сообщение от Coverete

у меня идея, а что если рассмотреть n четное и n нечетное?

Судя по всему идея здравая..

@Coverete · 05.11.2012, 12:09 **[ТС]**

Но, как быть дальше?

Байт · 05.11.2012, 12:19

http://portal.tpu.ru/SHARED/k/... ample6.htm
cosx+... cosnx = (sin((n+1/2)x - sin x)/ sin x/2 и от этого плясать...

@Coverete · 05.11.2012, 13:08 **[ТС]**

В моей группе еще не изучались, формулы эйлера, а это тождество надо доказать при решении

@cmath · 05.11.2012, 21:37

О! у нас же n - конечное число! чего-то я только сейчас дошел. Я что-то про $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \infty$ думал.

Сообщение от Байт

При n=2 у меня получилась бесконечность. (мог и ошибиться)

Таки ошиблись. Получится -2,5. Я почему про бесконечность говорил: потому что в голове держал предел при n стремящемся к бесконечности. Но так как никакого предела нету, то нету и бесконечности со знаком минус

Предел функции в нуле - это как раз то, что у меня в п.5.
Я так думаю, надо доопределить так: поставить значение функции в нуле = предел функции в нуле, который, кст, уже посчитан:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=-\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2}$

Сообщение от Байт

Получится 2 геометрические прогрессии, их суммы легко считаются, все выражение примет конечный вид. И вычисления будут попроще.
Вообще-то где-то я встречал формулу для суммы cos x +... + cos nx и наверное есть способ вывести эту формулу без Эйлера, но ИМХО по Эйлеру ее вывод самый простой, "лобовой"

Это конечно хорошо, но то, что способ "лобовой" - сомневаюсь.
Я, собственно, почему предложил предел искать: если функция терпит устранимый разрыв первого рода в точке, то ее можно доопределить до непрерывности в этой точке просто поставив в качестве значения функции в этой точке значения её предела в этой же точке и "усё". Имхо самый "лобовой" способ.

Добавлено через 10 минут

Сообщение от Coverete

В моей группе еще не изучались, формулы эйлера,

Формулы Эйлера можете и сами посмотреть кст. Основная формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{ix}=\cos x + i\sin x$ очень тривиально доказывается с помощью разложения в ряды Тейлора (Маклорена)
З.Ы. Надо бы вам посмотреть в сторону комплексных чисел имхо. Лишним не будет.

Добавлено через 8 минут

Сообщение от cmath

почему предложил предел искать

Хотя, по-хорошему пределЫ. Односторонние. И сравнить. Хотя здесь они и равны.

@Coverete · 06.11.2012, 00:42 **[ТС]**

Можно немножко, поподробнее?

@cmath · 06.11.2012, 04:46

Сообщение от Coverete

Можно немножко, поподробнее?

Нахождение предела(ов) функции в нуле, доказательство формулы Эйлера, или непосредственно "процесс" доопределения?

@Coverete · 06.11.2012, 11:08 **[ТС]**

Смотрите, то есть мы должны найти предел в нуле, он будет равен сумме первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два, и просто, так как это устранимый разрыв, мы значению функцию в точке ноль ставим как раз в соответствие сумму первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два?

@cmath · 06.11.2012, 12:16

Сообщение от Coverete

Смотрите, то есть мы должны найти предел в нуле, он будет равен сумме первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два, и просто, так как это устранимый разрыв, мы значению функцию в точке ноль ставим как раз в соответствие сумму первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два?

Именно

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38

	Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0 04.11.2012, 16:04. Показов 4760. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)-\frac{sin(nx)}{sin(x)}}{{x}^{2}}$ 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	04.11.2012, 23:03
	Выразить cos по формуле Эйлера, получится пара геометрических прогрессий... 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	04.11.2012, 23:56 [ТС]
	а можно как-нибудь без формул Эйлера? Добавлено через 3 минуты К слову предел бесконечность, вроде 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	05.11.2012, 12:09 [ТС]
	Но, как быть дальше? 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	05.11.2012, 12:19
	http://portal.tpu.ru/SHARED/k/... ample6.htm cosx+... cosnx = (sin((n+1/2)x - sin x)/ sin x/2 и от этого плясать... 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	05.11.2012, 13:08 [ТС]
	В моей группе еще не изучались, формулы эйлера, а это тождество надо доказать при решении 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	06.11.2012, 00:42 [ТС]
	Можно немножко, поподробнее? 0

@Coverete 1 / 1 / 0 Регистрация: 26.09.2012 Сообщений: 38
	06.11.2012, 11:08 [ТС]
	Смотрите, то есть мы должны найти предел в нуле, он будет равен сумме первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два, и просто, так как это устранимый разрыв, мы значению функцию в точке ноль ставим как раз в соответствие сумму первых n квадратов взятых со знаком минус и поделенных на два? 0

Доопределить функцию так,чтобы она была непрерывна в 0

Решение