Экстремумы функции 2-х переменных при нулевом дискриминанте

@Кайлас · Регистрация: 11.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Нужно найти экстремумы функции z=2xy—4x—2y
Нашел частные производные первого порядка: по иксу 2y-4, по игрику 2x-2
Решил систему, приравняв к нулю оба уравнения, получил: y=2, x=1
Нашел производные второго порядка: по иксу 0, по игрику тож 0, смешанная равна 2.
И вот здесь дискриминант равен нулю: Δ=AC-B^2= 0*2-0=0
Говорят, что требуется дополнительное исследование в таком сомнительном случае... Может я где-то ошибся? Как дальше проводить исследование???

@Igor · 18.10.2013, 09:00

Кайлас, такое ощущение, что там, в точке M(1;2), экстремума нет.

Ilot · 18.10.2013, 09:35

Сообщение от Кайлас

Как дальше проводить исследование???

Да ни как. Нужно начинать думать, а то понаучили блин действовать только по заранее подготовленным алгоритмам.
Итак первое. Ваша ф-я по сути это уже разложение в ряд и дополнительно исследование в смысле нахождение старших производных ничего не даст по банальной причине - их просто нет (равны нулю).
Второе - экстремум вы нашли правильно и учитывая выше изложенное приходим к выводу, что это особая точка типа седло.

Сообщение от Igor

Кайлас, такое ощущение, что там, в точке M(1;2), экстремума нет.

Экстремум это не обязательно максимум или минимум.

@Igor · 18.10.2013, 11:42

Сообщение от Ilot

Экстремум это не обязательно максимум или минимум.

Ilot, я имел в виду про локальный.

Добавлено через 7 минут
Чтобы не быть голословным, то вот

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> z(1+\varepsilon ,2+\varepsilon )=z(1-\varepsilon ,2-\varepsilon )=2{\varepsilon }^{2}-4,\\ z(1-\varepsilon ,2+\varepsilon )=z(1+\varepsilon ,2-\varepsilon )=-2{\varepsilon }^{2}-4,\ \forall \varepsilon \geq 0.$

Добавлено через 1 час 21 минуту
Отсюда и видно, что это "седло".

@helter · 18.10.2013, 11:57

Сообщение от Кайлас

Нашел производные второго порядка: по иксу 0, по игрику тож 0, смешанная равна 2.
И вот здесь дискриминант равен нулю: Δ=AC-B^2= 0*2-0=0

Смешанная - это B, так что не нулю.

Кстати, очевидно, это уравнение задаёт гиперболический параболоид.

@Кайлас · 18.10.2013, 12:07 **[ТС]**

Сообщение от helter

Смешанная - это B, так что не нулю.

Кстати, очевидно, это уравнение задаёт гиперболический параболоид.

Вот в чем дело! спс)

@palva · 18.10.2013, 12:39

Сообщение от Кайлас

Вот в чем дело! спс)

Это не меняет дела. Минор первого порядка у вас все равно нулевой.

Исследуйте поведение функции на прямых x=y и x=-y У вас получится функция одного переменного x. В одном случае у функции в нуле будет минимум, в другом случае максимум. Отсюда вывод: седловая точка.

В этом и заключается дополнительное исследование.

@Кайлас · 18.10.2013, 12:57 **[ТС]**

Почему же не меняет? Мне просто по заданию нужно найти экстремумы (не углубляясь в данном случае в доп исследование) или написать в ответ, что точка не имеет ни минимума, ни максимума

, т.к. дискриминант меньше нуля.

@helter · 18.10.2013, 13:04

При отрицательном определителе квадратичная форма гарантированна неопределённая, так что дополнительные исследования не нужны.

@palva · 18.10.2013, 13:15

Сообщение от helter

так что дополнительные исследования не нужны.

helter, я про это не знал. Но если у топик-стартера была подобная теорема, то желаем ему успехов в защите своего решения.
Да, конечно, -- заглянул в учебник.

@helter · 18.10.2013, 14:50

Сообщение от palva

helter, я про это не знал. Но если у топик-стартера была подобная теорема, то желаем ему успехов в защите своего решения.
Да, конечно, -- заглянул в учебник.

Да там знать-то нечего. Функция представляется как квадратичная форма (гессиан) плюс малая добавка, и всё сводится к исследованию знакоопределённости гессиана. Если он определённый или неопределённый, он забивает малую добавку, и поэтому достаточно исследовать сам гессиан. Если же он вырожденный и полуопределённый, то на том подпространстве, где он обращается в 0, приращение функции равно малой добавке, которую приходится исследовать дальше.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@Кайлас 1 / 1 / 0 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 47

	Экстремумы функции 2-х переменных при нулевом дискриминанте 18.10.2013, 06:28. Показов 13858. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Нужно найти экстремумы функции z=2xy—4x—2y Нашел частные производные первого порядка: по иксу 2y-4, по игрику 2x-2 Решил систему, приравняв к нулю оба уравнения, получил: y=2, x=1 Нашел производные второго порядка: по иксу 0, по игрику тож 0, смешанная равна 2. И вот здесь дискриминант равен нулю: Δ=AC-B^2= 0*2-0=0 Говорят, что требуется дополнительное исследование в таком сомнительном случае... Может я где-то ошибся? Как дальше проводить исследование??? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	18.10.2013, 09:00
	Кайлас, такое ощущение, что там, в точке M(1;2), экстремума нет. 0

@Кайлас 1 / 1 / 0 Регистрация: 11.10.2013 Сообщений: 47
	18.10.2013, 12:57 [ТС]
	Почему же не меняет? Мне просто по заданию нужно найти экстремумы (не углубляясь в данном случае в доп исследование) или написать в ответ, что точка не имеет ни минимума, ни максимума, т.к. дискриминант меньше нуля. 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	18.10.2013, 13:04
	При отрицательном определителе квадратичная форма гарантированна неопределённая, так что дополнительные исследования не нужны. 0