Доказать, что последовательность имеет предел

@KursoR · Регистрация: 14.11.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста решить:
Доказать, что ограниченная сверху и удовлетворяющая условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}-{x}_{n}\geq -\frac{1}{{2}^{n}}$ последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{{x}_{n}\}$ имеет предел

@Igor · 28.10.2013, 22:47

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {x}_{n+1}-{x}_{n}\geq -\frac{1}{{2}^{n}},\ ({x}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}})-({x}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}})\geq 0.$

Зададим последовательность, которая, очевидно, ограничена сверху: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {y}_{n}={x}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}.$

То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {y}_{n+1}\geq {y}_{n}.$

Не по теме:

KursoR, формализацию Вам оставляю.:)

@palva · 28.10.2013, 23:08

Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n=x_n+y_n$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n=\begin{cases}0,&x_n-x_{n-1}\ge0\\ x_n-x_{n-1},&x_n-x_{n-1}\lt0\end{cases}$
Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n$ сходится, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ ограничено, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ также и монотонно, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ сходится. Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ сходится, поскольку является разностью сходящихся последовательностей.

Не по теме:

Что-то LaTeX барахлит или я с ним не совладал.

@Igor · 28.10.2013, 23:22

Не по теме:

Сообщение от palva

Что-то LaTeX барахлит или я с ним не совладал.

palva, в таких случаях можно делать так:
имеем [LАTEX]Текст[/LАTEX], а делаем
[LАTEX]
Текст[/LАTEX].

@palva · 28.10.2013, 23:24

Igor, спасибо огромное. Опробую при случае.

@Igor · 28.10.2013, 23:28

palva, да не за что. Я всегда так делаю - помогает.

@palva · 29.10.2013, 09:37

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_{n+1}+\frac{1}{2^{n+1}})-(x_{n}+\frac{1}{2^{n}})\ge0$ я тоже так сначала думал.

Добавлено через 10 часов 6 минут
а потом оказалось, что если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=x_2=...=0$ и мы прибавим к ней $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2^n}$ то мы получим убывающую последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac12, \frac14, \frac18, \ldots$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .

@KursoR 4 / 4 / 2 Регистрация: 14.11.2011 Сообщений: 8

	Доказать, что последовательность имеет предел 28.10.2013, 21:49. Показов 1158. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста решить: Доказать, что ограниченная сверху и удовлетворяющая условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}-{x}_{n}\geq -\frac{1}{{2}^{n}}$ последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\{{x}_{n}\}$ имеет предел 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	28.10.2013, 22:47
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {x}_{n+1}-{x}_{n}\geq -\frac{1}{{2}^{n}},\ ({x}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}})-({x}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}})\geq 0.$ Зададим последовательность, которая, очевидно, ограничена сверху: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {y}_{n}={x}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}.$ То есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {y}_{n+1}\geq {y}_{n}.$ Не по теме: KursoR, формализацию Вам оставляю.:) 1

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	28.10.2013, 23:08
	Положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n=x_n+y_n$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_0=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n=\begin{cases}0,&x_n-x_{n-1}\ge0\\ x_n-x_{n-1},&x_n-x_{n-1}\lt0\end{cases}$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n$ сходится, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ ограничено, но $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ также и монотонно, поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z_n$ сходится. Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n$ сходится, поскольку является разностью сходящихся последовательностей. Не по теме: Что-то LaTeX барахлит или я с ним не совладал. 1

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	28.10.2013, 23:24
	Igor, спасибо огромное. Опробую при случае. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	28.10.2013, 23:28
	palva, да не за что. Я всегда так делаю - помогает. 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	29.10.2013, 09:37
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x_{n+1}+\frac{1}{2^{n+1}})-(x_{n}+\frac{1}{2^{n}})\ge0$ я тоже так сначала думал. Добавлено через 10 часов 6 минут а потом оказалось, что если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1=x_2=...=0$ и мы прибавим к ней $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2^n}$ то мы получим убывающую последовательность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac12, \frac14, \frac18, \ldots$ 2