неоднородное дифференциальное уравнение второго рода

@ZayacV · Регистрация: 27.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}+{2y}^{'}+{5y}={sinx}$

@Bishoр · 03.11.2013, 02:25

Составим характеристическое уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k^2+2k+5=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=4-20=-16$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_{1}=-1\pm 2i$
Тогда решение однородного уравнения будет иметь вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{oo}=C_1e^{-x}\cos 2x+C_2e^{-x}\sin 2x$
Зная теорему о структуре общего решения дифференциального уравнения, т.е.:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y(x)=Y_{oo}+Y_{1}$
Где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}$ есть некоторое частное решение.
Частное решение будет иметь вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}=a_1\cos x+a_2\sin x$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}'=-a_1\sin x+a_2\cos x$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}''=-a_1\cos x-a_2\sin x$
Подставляем в исходное:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a_1\cos x-a_2\sin x-2a_1\sin x+2a_2\cos x+5a_1\cos x+5a_2\sin x=\sin x$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (-a_1+2a_2+5a_1)\cos x +(-a_2-2a_1+5a_2)\sin x = sin x$
Получаем систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} 4a_1+2a_2=0 \\ 4a_2-2a_1=1 \end{cases}$
Решая систему получаем следующие значения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=-\frac{1}{10}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=\frac{1}{5}$
Получаем частное решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}=-\frac{\cos x}{10}+\frac{\sin x}{5}$
Тогда имеем решение неоднородного уравнения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y(x)=C_1e^{-x}\cos 2x+C_2e^{-x}\sin 2x-\frac{\cos x}{10}+\frac{\sin x}{5}$

@ZayacV · 04.11.2013, 20:11 **[ТС]**

спасибо большое, а как сделать проверку?

@Bishoр · 04.11.2013, 20:22

Сообщение от ZayacV

спасибо большое, а как сделать проверку?

Нужно найти первую и вторую производные, и подставить в исходное уравнение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''+2y'+5y=\sin x$
И левая часть будет равна правой части

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@ZayacV 2 / 2 / 3 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 72

	неоднородное дифференциальное уравнение второго рода 01.11.2013, 22:08. Показов 1143. Ответов 3 Метки нет (Все метки) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}^{''}+{2y}^{'}+{5y}={sinx}$ 0

@Bishoр 30 / 30 / 1 Регистрация: 19.08.2013 Сообщений: 51
	03.11.2013, 02:25
	Сообщение было отмечено как решение Решение Составим характеристическое уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k^2+2k+5=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=4-20=-16$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k_{1}=-1\pm 2i$ Тогда решение однородного уравнения будет иметь вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{oo}=C_1e^{-x}\cos 2x+C_2e^{-x}\sin 2x$ Зная теорему о структуре общего решения дифференциального уравнения, т.е.: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y(x)=Y_{oo}+Y_{1}$ Где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}$ есть некоторое частное решение. Частное решение будет иметь вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}=a_1\cos x+a_2\sin x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}'=-a_1\sin x+a_2\cos x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}''=-a_1\cos x-a_2\sin x$ Подставляем в исходное: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-a_1\cos x-a_2\sin x-2a_1\sin x+2a_2\cos x+5a_1\cos x+5a_2\sin x=\sin x$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (-a_1+2a_2+5a_1)\cos x +(-a_2-2a_1+5a_2)\sin x = sin x$ Получаем систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} 4a_1+2a_2=0 \\ 4a_2-2a_1=1 \end{cases}$ Решая систему получаем следующие значения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_1=-\frac{1}{10}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_2=\frac{1}{5}$ Получаем частное решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y_{1}=-\frac{\cos x}{10}+\frac{\sin x}{5}$ Тогда имеем решение неоднородного уравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y(x)=C_1e^{-x}\cos 2x+C_2e^{-x}\sin 2x-\frac{\cos x}{10}+\frac{\sin x}{5}$ 3

@ZayacV 2 / 2 / 3 Регистрация: 27.10.2013 Сообщений: 72
	04.11.2013, 20:11 [ТС]
	спасибо большое, а как сделать проверку? 0

неоднородное дифференциальное уравнение второго рода

Решение