Оценка корней одного уравнения

@rurenko · Регистрация: 15.04.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дано уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-lnx=C$
Можно ли каким-то образом оценить сверху его максимальный корень?
С- заданное число, больше 1.
В оценке видимо должна участвовать эта константа С.
Корни видимо точно не найти, требуется только оценка для них сверху.
Естественно х положительное.

@jogano · 22.10.2017, 19:57

Можно это сделать. Функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{x-1}$ идёт выше логарифма для x>1 (а правый корень вашего уравнения всегда будет >1). И оценка сверху большего корня есть корень уравнения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x-1}=x-C \: \Rightarrow \: x=\frac{2C+1+\sqrt{4C-3}}{2}$ . Чтобы ваше уравнение имело корни, необходимо C>1, что видно по графику. Тогда радикал в оценке извлекается.

@rurenko · 23.10.2017, 09:12 **[ТС]**

jogano, спасибо большое! только не ясно откуда это неравенство
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?lnx<\sqrt{x-1}$ при х>1

@jogano · 23.10.2017, 09:50

В x=1 значения одинаковы, и для x>1 производная радикала больше производной логарифма (проверьте). Значит, для x>1 и значение радикала больше логарифма.

Добавлено через 34 минуты
Могу ещё оценку слева написать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{C+1+\sqrt{\left(C+1 \right)^2-4}}{2}$ , которая получается пресечением прямой y=x-C и гиперболы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1-\frac{1}{x}$ , которая для x>1 ниже логарифма.
Т.о., правый корень вашего уравнения находится в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(\frac{C+1+\sqrt{\left(C+1 \right)^2-4}}{2}; \; \frac{2C+1+\sqrt{4C-3}}{2} \right)$

@йот · 23.10.2017, 10:04

Дано
x - ln(x) = C
Оценить корень сверху
Решение
1. при x = C получим равенство -ln(C) = 0 (то есть x должно быть больше C)
2. при x = 2C получим равенство C - ln(2C) = 0 (слева число положительное)
например при С = 0,5. Кроме того левая часть возрастает...
То есть имеем x < 2C (это и есть решение)

@jogano · 23.10.2017, 10:13

Тоже вариант - менее точный, но проще.

@splen · 26.10.2017, 16:33

Неравенство ln(1+t) < t при t = x/C - 1 означает, что ln x < x/C - 1 + ln C.
Тогда из уравнения x = C + ln x следует, что x < C + x/C - 1 + ln C, откуда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x < \left( 1 + \frac{\ln C}{C-1} \right) C.$

При больших С правая часть отличается от С на относительной малый логарифмический член.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278

	Оценка корней одного уравнения 22.10.2017, 19:36. Показов 2675. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Дано уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-lnx=C$ Можно ли каким-то образом оценить сверху его максимальный корень? С- заданное число, больше 1. В оценке видимо должна участвовать эта константа С. Корни видимо точно не найти, требуется только оценка для них сверху. Естественно х положительное. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	22.10.2017, 19:57
	Сообщение было отмечено rurenko как решение Решение Можно это сделать. Функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{x-1}$ идёт выше логарифма для x>1 (а правый корень вашего уравнения всегда будет >1). И оценка сверху большего корня есть корень уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{x-1}=x-C \: \Rightarrow \: x=\frac{2C+1+\sqrt{4C-3}}{2}$ . Чтобы ваше уравнение имело корни, необходимо C>1, что видно по графику. Тогда радикал в оценке извлекается. 2

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	23.10.2017, 09:12 [ТС]
	jogano, спасибо большое! только не ясно откуда это неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?lnx<\sqrt{x-1}$ при х>1 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.10.2017, 09:50
	В x=1 значения одинаковы, и для x>1 производная радикала больше производной логарифма (проверьте). Значит, для x>1 и значение радикала больше логарифма. Добавлено через 34 минуты Могу ещё оценку слева написать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{C+1+\sqrt{\left(C+1 \right)^2-4}}{2}$ , которая получается пресечением прямой y=x-C и гиперболы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1-\frac{1}{x}$ , которая для x>1 ниже логарифма. Т.о., правый корень вашего уравнения находится в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \in \left(\frac{C+1+\sqrt{\left(C+1 \right)^2-4}}{2}; \; \frac{2C+1+\sqrt{4C-3}}{2} \right)$ 2

@йот 27 / 32 / 14 Регистрация: 08.09.2017 Сообщений: 448
	23.10.2017, 10:04
	Сообщение было отмечено rurenko как решение Решение Дано x - ln(x) = C Оценить корень сверху Решение 1. при x = C получим равенство -ln(C) = 0 (то есть x должно быть больше C) 2. при x = 2C получим равенство C - ln(2C) = 0 (слева число положительное) например при С = 0,5. Кроме того левая часть возрастает... То есть имеем x < 2C (это и есть решение) 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	23.10.2017, 10:13
	Тоже вариант - менее точный, но проще. 1

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	26.10.2017, 16:33
	Сообщение было отмечено rurenko как решение Решение Неравенство ln(1+t) < t при t = x/C - 1 означает, что ln x < x/C - 1 + ln C. Тогда из уравнения x = C + ln x следует, что x < C + x/C - 1 + ln C, откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x < \left( 1 + \frac{\ln C}{C-1} \right) C.$ При больших С правая часть отличается от С на относительной малый логарифмический член. 1