Существуют ли методы для нахождения ВСЕХ корней уравнения с комплексными степенями? (Пример: y^a + y^e = Q)

Какие существующие алгоритмы могут найти ВСЕ решения такого уравнения?

0

Сообщение от Люк Кио Да, функция Ламберта является аналитической функцией.

Аналитические методы решения уравнения не имеют ничего общего с "аналитической функцией". Аналитические (или символьные) методы решения уравнения подразумевают, что ты получишь корни в радикалах, элементарных функциях.

Я еще раз повторяю, W-функция Ламберта не является элементарной функцией. Ее тоже нужно вычислить и чтобы это делать, то снова прибегают к численным методам.

Например,

квадратное, кубическое и уравнение четвертой степени можно решить аналитически (символьно) во всех случаях. Для степеней выше, аналитическое решение не гарантируется.

cos(x) = x тоже не решается аналитически. Корень можно найти только численными методами.


Системы компьютерной алгебры могут выдавать ответы, выраженные в W-функцией Ламберта и прочими функциями, когда они не могут решить в символьном виде. Но толку от этих функций мало. Это равносильно тому, если программа в качестве ответа выдала бы выражение с интегралом (который требует вычисления численными методами) или каким-то рядом.

Люк Кио, кстати, только что прочел в Вики, что W-функцией Ламберта

Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW.

Т.е. это чисто для удобства. Тот, кто будет применять ответ на практике, все равно будет конвертировать данную функцию в привычное число и это будет осуществляться численными методами. И в Maple, и в Mathematica, это делается легко.

0

Могу дать пример решения из программы для тестирования, здесь я прокручивал комплексную степень по кругу от 0 до 2pi
Пример из шапки N=1
y^(pi*e^(2piNi/16))+y^(e)=10^7+777i
y^a+y^b=Q
A=1,a=pie^(2piNi/16),B=1,b=e,C=-Q,c=0,N=1

Ay^a+By^b+C=0
y^a+y^b=Q
1. y^a=Q-y^b p=1,r=a,q=Q,x=-1,s=b
2. y^(a-b)=-1+Qy^(-b) p=1,r=a-b,q=-1,x=Q,s=-b
3. Qy^(-b)=1+y^(a-b) p=Q,r=-b,q=1,x=1,s=a-b
Полная функция ультрарадикал, имеет ряд тейлора и аналитическое продолжение в виде точно такого же степенного ряда.
Все эти ряды выражаются одним и тем же мастер-рядом, просто для каждого уравнения вы ставите его параметры и независимый аргумент.
M=msr(m;s;r;z)=m
+x
+(m+2s-r)x^2/2!
+(m+3s-r)(m+3s-2r)x^3/3!
+(m+4s-r)(m+4s-2r)(m+4s-3r)x^4/4!
+(m+5s-r)(m+5s-2r)(m+5s-3r)(m+5s-4r)x^5/5!
+(m+6s-r)(m+6s-2r)(m+6s-3r)(m+6s-4r)(m+6s-5r)x^6/6!
+(m+7s-r)(m+7s-2r)(m+7s-3r)(m+7s-4r)(m+7s-5r)(m+7s-6r)x^7/7!
+(m+8s-r)(m+8s-2r)(m+8s-3r)(m+8s-4r)(m+8s-5r)(m+8s-6r)(m+8s-7r)x^8/8!
+(m+9s-r)(m+9s-2r)(m+9s-3r)(m+9s-4r)(m+9s-5r)(m+9s-6r)(m+9s-7r)(m+9s-8r)x^9/9!
+(m+10s-r)(m+10s-2r)(m+10s-3r)(m+10s-4r)(m+10s-5r)(m+10s-6r)(m+10s-7r)(m+10s-8r)(m+10s-9r)x^10/10!
+(m+11s-r)(m+11s-2r)(m+11s-3r)(m+11s-4r)(m+11s-5r)(m+11s-6r)(m+11s-7r)(m+11s-8r)(m+11s-9r)(m+11s-10r)x^11/11!
...
Корни исходного уравнения находятся как произведение y=v*M
v=e^((ln(|q/p|)+(arg(q/p)+2pin)i)/r),n=... значение n выбирает ветвь комплексного логарифма, или в данном случае выбирает один из корней r-степени от q/p
M это результат ультрарадикала
z=xv^s/qr
M=msr(1;s;r;z)
Исходное уравнение преобразуется к виду мастер-уравнения тремя способами
Каждое из мастер-уравнений даёт свои корни:
3. n=-1,y=-228.63761367043680389+284.52055371288058 253i
1. n=0, y=-43.995690431683088427-104.34442076827850078i
n=1, y=227.16629369695283114-14.393631440992188375i
2. n=1, y=835.99799271164418959+1951.37326539508 34515i
n=2, y=-131441.5366516473144+324515.359782585604 72i
n=3, y=-53151721.289837777023+22704198.249119435 831i

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Royal_X Я еще раз повторяю, W-функция Ламберта не является элементарной функцией.

Royal_X, А кто говорит что она является элементарной.
Мастер-ряд - это обычный ряд Тейлора. Никакого отношения он не имеет к методам натыкивания. Поймите что если есть ряд Тейлора значит функция аналитическая, даже если есть другая формула, хоть какое то точное и однозначное определение кроме тыканий, значит это аналитическая функция. И как вообще можно говорить что ряд Тейлора, да ещё такой простой - это метод тыкания?!!!

0

Сообщение от Люк Кио Каждое из мастер-уравнений даёт свои корни: 3. n=-1,y=-228.63761367043680389+284.52055371288058 253i 1. n=0, y=-43.995690431683088427-104.34442076827850078i n=1, y=227.16629369695283114-14.393631440992188375i 2. n=1, y=835.99799271164418959+1951.37326539508 34515i n=2, y=-131441.5366516473144+324515.359782585604 72i n=3, y=-53151721.289837777023+22704198.249119435 831i

Стоп Я тут вижу корни с погрешностями. Это результат использования численного метода.

Я же просил написать мне все 6 корней, полученных аналитически, в символьном виде, т.е. чтобы корни были без погрешности. Не нужно захламлять тему набором бессмысленных формул и текста.

0

Сообщение от Royal_X Стоп Я тут вижу корни с погрешностями. Это результат использования численного метода. Я же просил написать мне все 6 корней, полученных аналитически, в символьном виде, т.е. чтобы корни были без погрешности. Не нужно захламлять тему набором бессмысленных формул и текста.

Это результат ряда Тейлора, округлённый до приемлемой длины на форумах.
Сам ряд Тейлора указан. Это степенной ряд ультрарадикала.
Вы отвечаете через минуту после такого длинного изложения формул и говорите дайте мне эти формулы!!!

Добавлено через 3 минуты
Вы правда за 10 секунд успели их прочитать, понять и отвергнуть?

0

Люк Кио, ну так твой ряд бесконечен. А это означает, что погрешность будет всегда. Следовательно, чтобы получить ответы, нужно вычислять ряд численными методами и каждый раз мы будет получать корни с погрешностью, что равносильно тому, что можно просто вычислить корни в абсолютно любом мат. пакете численными методами и никому не насиловать мозг.
Другое дело, если ты мог бы упростить ряд до какого-то точного значения. Но ты этого не сделаешь в данном примере...

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от Люк Кио Вы правда за 10 секунд успели их прочитать, понять и отвергнуть?

нет, я ничего не проверял. Возможно, ваши формулы неправильные. Я просто доверился вам.

Но заметить, что вы не ответили на мой вопрос, я смог за 10 сек.

0

Сообщение от Royal_X Люк Кио, ну так твой ряд бесконечен. А это означает, что погрешность будет всегда. Следовательно, чтобы получить ответы, нужно вычислять ряд численными методами и каждый раз мы будет получать корни с погрешностью, что равносильно тому, что можно просто вычислить корни в абсолютно любом мат. пакете численными методами и никому не насиловать мозг. Другое дело, если ты мог бы упростить ряд до какого-то точного значения. Но ты этого не сделаешь...

Royal_X, не обижайтесь, но я не в состоянии отвечать на такие заявления. Это выше моих сил. Я надеюсь что среди форумчан есть люди которые на это ответят.

Добавлено через 1 минуту
Правда без обид, Royal_X.

0

Сообщение от Люк Кио не обижайтесь

а чего я должен обижаться?

просто я подумал, что вы открыли некий способ решения данного уравнения аналитическим методом, который выдаст корни, выраженные в радикалах
но если ваш метод тоже выдает корни, выраженные в числах с плавающей запятой, то что мешает сразу "пустить" уравнение под численный алгоритм? Зачем всё усложнять, преобразовать в ряд, а потом еще вычислять ряд численными методами?

0

Сообщение от Royal_X а потом еще вычислять ряд численными методами?

Royal_X, ну где вы видите численный метод?

Сообщение от Люк Кио Royal_X, А кто говорит что она является элементарной. Мастер-ряд - это обычный ряд Тейлора. Никакого отношения он не имеет к методам натыкивания. Поймите что если есть ряд Тейлора значит функция аналитическая, даже если есть другая формула, хоть какое то точное и однозначное определение кроме тыканий, значит это аналитическая функция. И как вообще можно говорить что ряд Тейлора, да ещё такой простой - это метод тыкания?!!!

Давайте не будем превращать киберфорум в день сурка. Ну есть же гугл сегодня у всех.

Добавлено через 2 минуты
Численные методы - это набор алгоритмов и техник, используемых для приближенного решения математических задач, особенно когда точное аналитическое решение недоступно или слишком сложно получить. Эти методы преобразуют математические задачи в конечную последовательность арифметических операций, результаты которых выражаются в числовой форме.

0

Сообщение от Люк Кио ну где вы видите численный метод?

как вы вычисляете ряд? разве не итерациями? вот вам и численный метод...
именно поэтому ваши корни представлены в числах с плавающей запятой
если у вас не численный метод, тогда я снова повторяю: напишите здесь все 6 корней в точном виде, без чисел с плавающей запятой

Люк Кио, если вы не понимаете меня, то приведу пример.

Допустим кто-то просит решить уравнение cos(x)-x=0
Я говорю, что данное трансцендентное уравнение не решается аналитическими (символьными) методами, мол, что можно только численными.
И тут вдруг приходит некий чел и рассказывает, что придумал какой-то новый метод, который может решить это уравнение аналитически.
Когда же спрашиваешь у него, покажи корни, то он показывает разложение косинуса в ряд Тейлора и потом просто в качестве ответа постит число с плавающей запятой.
Ну и где же тут аналитическое решение в символьном виде? Этот ряд потом нужно вычислить численными методами.
То, что f(x):=cos(x) или g(x):=x являются аналитическими функциями, не говорит о том, что уравнение можно решить аналитически и получить точные корни.

0

Сообщение от Люк Кио не обижайтесь, но я не в состоянии отвечать на такие заявления. Это выше моих сил. Я надеюсь что среди форумчан есть люди которые на это ответят.

А что, собственно, на это можно ответить?

Так или иначе, но обсуждаемое - это численный метод, что бы по этому поводу не думал его автор. Соответственно, если он существенно быстрее/экономичнее/дешевле по ресурсам, чем другие - это повод для обсуждения. Если нет...

1

Сообщение от Pphantom Так или иначе, но обсуждаемое - это численный метод, что бы по этому поводу не думал его автор.

согласен

Сообщение от Pphantom Соответственно, если он существенно быстрее/экономичнее/дешевле по ресурсам, чем другие - это повод для обсуждения. Если нет...

Ну он тут рассказывает, что его метод быстрее и Maple, и Mathematica, правда кроме слов я пока ничего не видел. Да и судя по его ответам, он вообще не знаток данных СКА. Соответственно, возникает вопрос, как он вообще сравнивал? Вот если он напишет процедуру (код) для названных СКА, реализующих его метод "мастера", и покажет, как он сравнивает, то тогда можно что-то обсуждать.

0

Сообщение от Royal_X Ну он тут рассказывает, что его метод быстрее и Maple, и Mathematica, правда кроме слов я пока ничего не видел.

Ну да, пока это просто заявление.

А когда появятся обоснования, придется еще и учесть, что СКА - не самый лучший образец быстродействия для численных методов, они не для этого предназначены.

0

Сообщение от Pphantom СКА - не самый лучший образец быстродействия для численных методов

ну да, их же создавали для символьных вычислений. Если нужно быстродействие, есть мат. библиотеки на быстрых сишных языках, а также на фортране, языке R, Julia и т.д. Даже на питоне есть библиотеки, и если сам питон медленный, но эти библиотеки основаны на быстром numpy. Например, torch на numpy. Есть и Matlab, но я не использую данную прогу, поэтому насчет скорости не скажу.
Однако, по моим наблюдениям в этих СКА численные методы тоже быстрые. Ядро у Mathematica сишное. Вот, Maxima работает на лисп, SBCL тоже быстрый. К тому же, все численные алгоритмы в Maxima взяты из знаменитых фортрановских библиотек, как вот SLATEC

0

Сообщение от Royal_X Однако, по моим наблюдениям в этих СКА численные методы тоже быстрые. Ядро у Mathematica сишное. Вот, Maxima работает на лисп, SBCL тоже быстрый. К тому же, все численные алгоритмы в Maxima взяты из знаменитых фортрановских библиотек, как вот SLATEC

Само собой, но какие-то "накладные расходы" на вызовах все равно накапливаются, в хороших случаях это замедляет результат раза в 2-3 по сравнению с оптимальным вариантом для соответствующей машины. В худших - больше.

Так что если ТС на чем-то подходящем смог догнать СКА, то это сойдет как критерий для рассмотрения, но как повод для гордости - уже не очень.

0

Сообщение от Pphantom Так или иначе, но обсуждаемое - это численный метод, что бы по этому поводу не думал его автор. Соответственно, если он существенно быстрее/экономичнее/дешевле по ресурсам, чем другие - это повод для обсуждения.

Дискуссия ушла куда-то в ряды Тейлора, между тем, автор заявлял, что его метод находит все корни уравнения. В то время как существующие методы отделяют корни перебором, а затем уточняют их значения с требуемой точностью. При отделении корней какие-то корни могут быть пропущены.

Автор утверждает, что его метод находит все корни уравнений. Хотелось бы увидеть доказательства этого утверждения. Тем более, выше есть возражение

Сообщение от Royal_X на сегодняшний день было доказано, что не может существовать метод для численного нахождения корней, который гарантированно (т.е. во всех случаях) сможет сказать сколько будет корней

которое автор проигнорировал.

На данный момент метод Мастера выглядит как очередное открытие квадратуры круга.

0

Сообщение от Sindbad_M которое автор проигнорировал

причем, он это сделал очень странно. Он согласился, что для численных методов это невозможно, но начал утверждать, что метод Мастера не является численным методом и стал рассказывать, что он решает аналитически. Хотя, ни я, ни другие в этой теме, с этим не согласны.

Сообщение от Sindbad_M Дискуссия ушла куда-то в ряды Тейлора

потому, что метод Мастера, как я понял из слов ТС, превращает оригинальное трансцендентное уравнение в ряд и дальше он решает алгебраическое уравнение.
Вот, что ТС написал:

Сообщение от Люк Кио Мастер-ряд - это обычный ряд Тейлора.

Но проблема в том, что можно лишь часть бесконечного ряда превратить в алгебраическое уравнение, а не весь ряд.

Объясню это на примере:

Есть уравнение , которое можно решить только численными методами.

Но если превратить в ряд Маклорена и далее взять кусок и приравнять нулю, то получим алгебраическое уравнение



И вот он утверждает, что такие уравнения решаются быстрее, чем СКА решают оригинальное уравнение численными методами (но мне не верится). Причем, в моем примере ряд не такой уж длинный, как у ТС.
Но вся ахинея в том, что во-первых, такое уравнение все равно придется решать численными методами, потому что только для уравнение 4-й степени и ниже есть аналитическое решение в общем виде.
Во-вторых, точность корней зависит от того, сколько членов ряда мы взяли.
В-третьих, при решении производного уравнения появляются побочные корни, которые не соответствуют оригинальному трансцендентному уравнению.

Т.е. грубо говоря, метод Мастера это просто некий метод, который превращает многочлены в ряд. Я не разбирался сколько там есть оригинальности и научной ценности, и работает ли он корректно вообще.

0

Чего вы к парню прицепились, ведь что-то всё-таки он придумал? Пусть, для очень-очень узкого круга уравнений, так и для специалиста это достижение, а человек вообще со стороны. Ему бы посоветовать, как надо правильно зайти на солидные форумы за содействием, или обратиться куда, где имеют дело с подобными задачами. Ну, мои советы не сработали, так вы подскажите, попытайтесь.
Вот у меня бы в теме пообсуждали - там 99% на самом деле нерешаемых примеров СНУ. Практически один только Мишка слюнями побрызгал, но это же не по делу, а от бессилия, что даже навредить не может.

0

Сообщение от one man Ему бы посоветовать, как надо правильно зайти на солидные форумы за содействием, или обратиться куда, где имеют дело с подобными задачами.

Ну ты же посоветовал ему пойти на Maple Primes. Есть stackexchange еще.

0

Сообщение от Royal_X пойти на Maple Primes

Видимо, плохо я объяснил, не учёл многих обстоятельств - можно сказать, предложил в какой-то степени пойти моим путём. Вот, например, у нас в секции один пацан несколько лет не мог выполнить международника, а пошёл к Ригерту и буквально сразу же выполнил в двух весовых категориях. Получил квартиру в Таганроге.
Да, думаю это тоже солидно

Сообщение от Royal_X Есть stackexchange еще.

Так надо же подготовить, а не загонять толпой под плинтус.

0

Сообщение от one man Так надо же подготовить

говорят, Эйнштейн был очень слаб в математике, не знал многих вещей, в частности о тензорных исчислениях, о работах Римана, Риччи и Леви-Чивиты. И чтобы правильно описать ОТО Эйнштейн попросил помощи у своего друга, математика Марселя Гроссмана.
ТС, видимо, тоже нужна помощь со стороны какого-то хорошего математика. Даже если на форуме будут такие, не думаю, что кто-то бесплатно возьмется за это дело. ТС написал целую статью, но он сделал это не как математик. Его работу нужно рецензировать и при необходимости подкорректировать, а быть может вообще окажется, что там лютая дичь.

0