Неявный метод Эйлера решения ОДУ

@Hirurg2605 · Регистрация: 29.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте! Имеется такое ОДУ:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?8y'''(t)+10.8y''(t)+2.9y'(t)+y(t)=10$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(t)=y'(t)=y''(t)=0$
на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\in[0, 60]$
Требуется построить разностную схему для решения ОДУ неявным методом Эйлера.
Для начала нужно привести ОДУ к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dX}{dt}=f(X)$ и уже на этом этапе у меня проблемы, я не понимаю как это должно выглядеть. С самим методом Эйлера я более-менее разобрался, вычисления смог бы скорее всего выполнить, но вот этот первый шаг меня вводит в ступор, спасите пожалуйста!

@nuHrBuH · 12.04.2020, 01:05

Сообщение от Hirurg2605

Для начала нужно привести ОДУ к виду

Имеется в виду следующее: если имеется уравнение x'' + x' + x = 1
Например: x - перемещение, v - скорость, a - ускорение. Тогда:
x'' = 1 - x - x'
x(i+1) = x(i) + v*dt
v(i+1) = v(i) + a*dt
y''' Ваше ускорение

@Hirurg2605 · 12.04.2020, 11:29 **[ТС]**

Спасибо за ответ! Правильно ли я понимаю, что в моём случае будет как-то так?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'''=(10-y-2.9y'-10.8y'')/8$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_i+\frac{dy(t_i)}{dt}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'_{i+1}=y'_i+\frac{dy'(t_i)}{dt}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''_{i+1}=y''_i+\frac{dy''(t_i)}{dt}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'''_{i+1}=y'''_i+\frac{dy'''(t_i)}{dt}$
Дальше вроде бы что-то вырисовывается, но как-то не так:
в правой части мы получаем что-то похожее на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dX}{dt}$ , наверное уже можно применять метод Эйлера, например для y_i+1 получается
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_{i}+\frac{dy(t_i)}{dt}=y_{i}+\frac{y_{i+1}-y_i}{h}=y_{i}+f(t_i, y_i)$
это по явной схеме Эйлера, по неявной в конце будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i+1}, y_{i+1})$ , но для начала лучше сделать по явной.
Теперь надо что-то подставить вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i}, y_{i})$ , получить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}$ , но если я правильно понял, то у нас по условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i}, y_{i})=0$ , следовательно всегда будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_{i}$
Как быть, что я делаю не так?

@nuHrBuH · 12.04.2020, 14:58

А это кто такие?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'''_{i+1}=y'''_i+\frac{dy'''(t_i)}{dt}$

Сообщение от Hirurg2605

Как быть, что я делаю не так?

А откуда такие сомнения?

@Hirurg2605 · 12.04.2020, 15:37 **[ТС]**

Видимо я вас совсем не понял и сейчас пошёл другим путём (а может быть и тем же, сложно сказать

).
В общем, я решил преобразовать ОДУ 3 порядка к системе из 3 уравнений первого порядка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} y'=y_1 \\ y_1'=y_2 \\ y_2'=f(t,y,y_1,y_2) \end{cases}$
где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t,y,y_1,y_2)=(10-y-2.9y_1-10.8y_2)/8$

Добавлено через 20 минут
но всё равно какая-то ерунда получается, т.к. у не меняются на каждом шаге, и в правой части последнего уравнения нет t, получается константное значение y'₂=10/8 на каждом шаге...

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от nuHrBuH

А это кто такие?

это лишнее, я уже понял, но от того не легче.

@SSC · 13.04.2020, 07:47

Сообщение от Hirurg2605

но всё равно какая-то ерунда получается

Вам надо привести ваше уравнение к системе из 3-х диффуравнений 1-го порядка (т.н. приведение к машинному виду)

dy2/dt= (10-y-2.9*y1-10.8*y2)/8
dy1/dt=y2
dy/dt=y1

и решать эту систему с начальными условиями

@Hirurg2605 · 13.04.2020, 11:06 **[ТС]**

SSC, спасибо за ответ! Я вчера ещё осознал, что мне нужно перейти от одного уравнения к системе, и понял как можно модифицировать код, который есть на соседних ветках, для моего случая. Вроде бы получилось правдоподобное решение, даже код неявного метода Эйлера из явного смог получить, но пока преподаватель не принял, не могу быть уверен что всё правильно понял

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Hirurg2605 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.08.2012 Сообщений: 59

	Неявный метод Эйлера решения ОДУ 11.04.2020, 23:24. Показов 3526. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Имеется такое ОДУ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?8y'''(t)+10.8y''(t)+2.9y'(t)+y(t)=10$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y(t)=y'(t)=y''(t)=0$ на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t\in[0, 60]$ Требуется построить разностную схему для решения ОДУ неявным методом Эйлера. Для начала нужно привести ОДУ к виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dX}{dt}=f(X)$ и уже на этом этапе у меня проблемы, я не понимаю как это должно выглядеть. С самим методом Эйлера я более-менее разобрался, вычисления смог бы скорее всего выполнить, но вот этот первый шаг меня вводит в ступор, спасите пожалуйста! 0

@Hirurg2605 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.08.2012 Сообщений: 59
	12.04.2020, 11:29 [ТС]
	Спасибо за ответ! Правильно ли я понимаю, что в моём случае будет как-то так? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'''=(10-y-2.9y'-10.8y'')/8$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_i+\frac{dy(t_i)}{dt}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'_{i+1}=y'_i+\frac{dy'(t_i)}{dt}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''_{i+1}=y''_i+\frac{dy''(t_i)}{dt}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'''_{i+1}=y'''_i+\frac{dy'''(t_i)}{dt}$ Дальше вроде бы что-то вырисовывается, но как-то не так: в правой части мы получаем что-то похожее на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dX}{dt}$ , наверное уже можно применять метод Эйлера, например для y_i+1 получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_{i}+\frac{dy(t_i)}{dt}=y_{i}+\frac{y_{i+1}-y_i}{h}=y_{i}+f(t_i, y_i)$ это по явной схеме Эйлера, по неявной в конце будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i+1}, y_{i+1})$ , но для начала лучше сделать по явной. Теперь надо что-то подставить вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i}, y_{i})$ , получить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}$ , но если я правильно понял, то у нас по условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(t_{i}, y_{i})=0$ , следовательно всегда будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_{i+1}=y_{i}$ Как быть, что я делаю не так? 0

@Hirurg2605 0 / 0 / 0 Регистрация: 29.08.2012 Сообщений: 59
	13.04.2020, 11:06 [ТС]
	SSC, спасибо за ответ! Я вчера ещё осознал, что мне нужно перейти от одного уравнения к системе, и понял как можно модифицировать код, который есть на соседних ветках, для моего случая. Вроде бы получилось правдоподобное решение, даже код неявного метода Эйлера из явного смог получить, но пока преподаватель не принял, не могу быть уверен что всё правильно понял 0

Неявный метод Эйлера решения ОДУ

Решение