Теория и практика вероятностей

Где-то увидел задачку:

На бесконечную плоскость бросаются три точки, которые определяют вершины треугольника. Вычислить вероятность получения остроугольного треугольника.

В чём некорректность данной задачи?

Дополните условие, чтобы убрать некорректность и приведите все решения данной задачи.

Решение многих удивит. Меня, по крайней мере, удивило.

0

Сообщение от Cyborg Drone Непрерывное равномерное распределение на интервале ]-∞..∞[ множества действительных чисел.

Эта фраза не имеет математического смысла. Равномерное распределение на бесконечном интервале невозможно.

0

А чем бесконечный интервал хуже конечного? На каждое конкретное число в любом случае приходится бесконечно малая плотность вероятности.

0

Сообщение от taras atavin А чем бесконечный интервал хуже конечного?

Бесконечный интервал хуже конечного тем, что интеграл от постоянной ненулевой функции на нем не сходится.
Поэтому распределение ну никак не может быть равномерным.

Сообщение от taras atavin На каждое конкретное число в любом случае приходится бесконечно малая плотность вероятности.

Нет, это не так. Вероятность выпадения конкретного числа бесконечно мала, а вот плотность вероятности нулевой никак быть не может. Ведь интеграл от нее по всему промежутку должен быть равен единице.

Затронутая проблема как раз служит источником многих вероятностных парадоксов - нельзя говорить о равномерном выборе произвольного числа. Либо мы должны ограничить интервал, либо задать закон распределения, отличный от равномерного. Например, колокол Гаусса, когда все числа в принципе возможны, но плоьность вероятности резко падает при удалении от вершины

0

Сообщение от NeoMatrix При данной постановке вопроса можно только набирать статистику, но не предугадывать вероятность.

Нет. требуется вычислить.

Сообщение от NeoMatrix всё, треугольника нет, вероятность его остроугольности вычислить нельзя.

Почему это? Вы перепутали вероятность образования остроугольного треугольника с конкретным случаем размещения точек. В этом конкретном случае (а так же и при совпадении точек) остроугольного треугольника не образовалось, и все дела.GpHUO7uk, браво. Однако, опять же, некорректность не определена.

Сообщение от Case-Man Нет, это не так. Вероятность выпадения конкретного числа бесконечно мала, а вот плотность вероятности нулевой никак быть не может. Ведь интеграл от нее по всему промежутку должен быть равен единице.

И что? просто плотность вероятности в данном случае можете считать бесконечно малой. Если честно, на ход решения плотность вероятностей в данном случае и не влияет. Но, если Вам мешает этот источник парадоксов, можете привести решение с применением какого-либо закона распределения, отличного от равномерного, хотите - возьмите ту же Гауссову шляпу. Просто окончательные ответы будут другие. И Вы тоже не увидели, в чём некорректность задачи.

Добавлено через 4 минуты
Case-Man, ещё в защиту существования равномерного распределения. У меня же написано, что координаты с -∞ и +∞ в интервал не входят. А, вообще говоря, и не могут входить.

Добавлено через 8 минут
Рисунок, приведённый GpHUO7uk, полоса с вырезанным кругом (да, да, вырезанный круг там есть, но прикрыт сверху ленью) - одно из окончательных решений. GpHUO7uk, а вероятность требуемую не отыщете? С рассуждениями, формулами? А то как-то намёк - и всё.

0

Сообщение от Case-Man Бесконечный интервал хуже конечного тем, что интеграл от постоянной ненулевой функции на нем не сходится.

И чем же страшна не определённость вида вероятности того, что точка вообще будет посеена?

0

Может быть: "На плоскость бросаются случайным образом три точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС - остроугольный?"

0

Сообщение от taras atavin И чем же страшна не определённость

Тем, что неопределенность не может быть константой. Раз не константа - распределение НЕ равномерное.

0

recoder, Ваша задача вполне корректна. Ответ: p=0. В чём некорректность того, что я написал?

0

Сообщение от Case-Man Тем, что неопределенность не может быть константой. Раз не константа - распределение НЕ равномерное.

И где ж у меня функция то?

0

Добавлено через 4 минуты
Шучу, =0

0

Сообщение от NeoMatrix всё, треугольника нет,

Есть, его вырожденность не отменяет того, что точек всё таки три.

0

две точки (пусть это А, В) всегда будут лежать на одной прямой. Поэтому необходимо рассчитать варианты положения третьей точки (С) относительно этого отрезка прямой, ограниченного первыми двумя точками (отрезка АВ).
Но длина АВничем не ограничена. Значит может быть как угодно велика. Теоретически мы можем получить сколь угодно длинный отрезок, при этом ограниченный двумя точками А, В.Так как в условиях нет ограничения плоскости в размерах, значит, точки могут лечь как угодно далеко друг от друга. При таких условиях третья точка так же должна находиться бесконечно далеко от отрезка, чтобы угол получился острым.

Данный отрезок А В является диаметром окружности О. Чтобы образовался остроугольный треуголник. Третья точка всегда должна быть вне окр. О, но внутри овала, стянутой как диаметром данным отрезком А В, но с высотой сегмента дуги, лежащей на этом отрезке превышающим радиус окружности О. назовём эту фигуру, образованную окружностью, вычтенной из овала, фигурой Д. О вписана в овал и имеют общий диаметр АВ.
Площадь плоскости между окружностью и вытянутым овалом, в который будет вписана окружность О (напоминаю, диаметр у них общий, это отрезок А В), то есть фигуры Д может быть величиной сколь угодно большой, но, так как она лежит на заданной плоскости, то она меньше этой плоскости по определению. , так как в условиях задачи ничего не сказано о размерах плоскости, на которую кидаются точки. Если это бесконечная плоскость, то количество попадания точки С внутри фигуры Д будет меньше, чем на плоскость вне фигуры Д. Площадь Д может быть сколь угодно велика, но меньше площади заданной плоскости, так как площадь плоскости бесконечна. Пропускаю все манипуляции с лимитами и неопределённостями и перехожу к естественному выводу: вероятность выпадения т. С вне фигуры Д бесконечна. А внутри фигуры Д конечна. Любая величина по сравнению с бесконечностью стремится к нулю. Хотя бы в процентном отношении. Ответ ноль.

Разумеется задача имеет смысл, если вся плоскость покрыта системой координат в виде сетки координат с конкретными рациональными координатами каждой гипотетической точки. То есть на любом ограниченном куске плоскости количество всех возможных координат точек будет конечным числом.
Ну и без этой всей белиберды ясно, что вероятность равна нулю.
А вот если бы была задана фигура на плоскости Х, и эта плоскость Х ограничена замкнутой линией и с конечной площадью, тогда бы имело смысл вычислять соотношение между фигурой Д и частью ограниченного куска плоскости вне фигуры Д. Ну можно вычислить . Но мне-то то это зачем?

Добавлено через 9 минут
Очень извиняюсь, везде вместо "Овал" стоит понимать "эллипс". Это заскок. Думаю про эллипс, пишу овал. А время для редактирования уже прошло

0

Сообщение от Какбысапиенс Пропускаю все манипуляции с лимитами и неопределённостями

Давайте развивать Ваши идеи.
Рассмотрим более простую задачу. Случайно выберем два положительных числа. Какова вероятность того, что первое больше второго? Практически дословно повторяя Ваши рассуждения, получим "естественный" вывод - искомая вероятность равна нулю.

В конечном итоге суть здесь та же, что и у известного парадокса: задача о двух конвертах. Нельзя говорить о случайном выборе, не уточняя характер распределения. Чисто интуитивно мы предполагаем равномерное распределение, но на бесконечных промежутках это невозможно в принципе. И даже на конечных промежутках размытые формулировки дают неоднозначный результат: парадокс Бертрана - задача о случайной хорде

0

Ну всё правильно. если вопрос стоит так: даны два неравных положительных числа (то есть оба принадлежат к множеству положительных чисел, бесконечному множеству. ), какова вероятность. что одно число больше другого. Ответ в условии: раз неравные, значит одно больше другого. ответ: вероятность 100%.
если вопрос: даны два неравных положительных числа А и В, случайным образом выбранные из бесконечного множества положительных чисел. Вопрос: какова вероятность того, что А будет больше В. В этом случае ответ будет ноль. Именно из-за бесконечности этого множества. По-моему, это ясно и без математики. С бесконечностью шутки плохи.

Добавлено через 21 минуту
Задача о двух конвертах задана изначально неправильно. Нет такого понятия в природе и в математикея, как "Среднее".редних показателей великое множество. Есть среднее арифметическое, среднее взвешенное, и так далее. Все они рассчитываются по разным формудам и результаты могут быть разными. когда я слышу по ТВ о том, что средняя зарплата в стране такая-то, я вообще удивляюсь такой наглой лжи. Пользуясь неграмотностью населения, вернее некомпетентностью, людям просто врут. Не уточняя, какая это средняя величина. По умолчанию подразумевается, что средняя арифметическая. Это бред. Например, в среднем у нас на семью (точное число не помн) например 1, 35 человек ребёнка в семье. Вы видели семью. в которой бы было один ребёнок и ещё з5 де5сятых ребёнка? у хозяина двое животных - канарейка и собака. УЦ канарейки две ноги, у собаки четыре ноги. Сколько ног В СРЕДНЕМ у каждого животного? Шесть делим на два получаем три. У хозяина двое животных у каждого из которых в среднем три ноги. Вы видели животных с тремя ногами? Вот именно. Когда вычисляют среднее значение, надо уточнять, какое именно среднее значение? и для разных случаев предусматривается наукой статистикой разные формулы вычисления средних значений для того. чтобы не получить абсурдный результат. И какждой формуле расчёта прилагается условие, при которых эта формула применяется и для которых разработана. Например для рассчёта средней зарплаты формула среднего арифметического не применяется. Это если по науке. По науке, если у одного человека зарплата миллиорн, а у тысячи - один рубль, то средняя зарплата будет рубль, а совсем не тысяча рублей. Так как при расчёте среднего показателя ещё и учитывается разница между верхним и нижнем пределами и количество выборок, в процентном отношении, приближенных к одному из пределов. А слово ""Среднее" вообще в науке не употребляется. Его ис пользуют в просторечии, опуская точное определение этого конкретного среднего, по умолчанию подразумевая, что вычислена именно та средняя величина. применимая к данному конкретному случаю.

0

Сообщение от Какбысапиенс сли вопрос: даны два неравных положительных числа А и В, случайным образом выбранные из бесконечного множества положительных чисел. Вопрос: какова вероятность того, что А будет больше В. В этом случае ответ будет ноль. Именно из-за бесконечности этого множества. По-моему, это ясно и без математики. С бесконечностью шутки плохи.

Вообще то не 0, а 50%.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Какбысапиенс По умолчанию подразумевается, что средняя арифметическая. Это бред. Например, в среднем у нас на семью (точное число не помн) например 1,

В группе из одного слона и 9-ти муравьёв среднеарифметическая масса около полутонны.

Добавлено через 8 минут

Сообщение от Какбысапиенс По науке, если у одного человека зарплата миллиорн, а у тысячи - один рубль, то средняя зарплата будет рубль, а совсем не тысяча рублей. Так как при расчёте среднего показателя ещё и учитывается разница между верхним и нижнем пределами и количество выборок, в процентном отношении, приближенных к одному из пределов.

Что то я такого среднего не знаю. Есть среднее арифметическое, среднеинтегральное, медиана. А среднее между краями, взвешенное на их численность - это вообще мухлёж на тему математического ожидания, а не среднее. Медиана, кстати, как раз 1 рубль, а среднее между краями без весов, то есть середина интервала 500 000.5. Полмиллиона рублей и ещё пятьдесят копеек.

Добавлено через 7 минут
Причём, в задаче двух числе не имеет значения, как именно они распределены, достаточно того, что это распределение у них одинаково. По-вашей же логике гарантированно равны сами числа.

0

Сообщение от taras atavin Вообще то не 0, а 50%

taras atavin, в постановке вопроса есть некорректность, аналогичная до сих пор не указанной никем для моей задачи.

0

Сообщение от Cyborg Drone Или расположиться на одной прямой. Вероятность любого из упомянутых событий стремится к нулю.

Основание? Не забывай, что множества точек прямой и плоскости — равномощны.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Cyborg Drone в постановке вопроса есть некорректность

Некорректность в бесконечности плоскости. Подобные задачи решаются определением областей при попадании в которые событие успешно и нет, с последующим нахождением отношения площадей этих областей, что в данном случае не представляется возможным.

0

Сообщение от TheFox Основание?

А чего тут основывать? Допустим, какова вероятность того, что две точки совпадут? Возьмём круг, центром которого является первая точка, определим вероятность попадания второй точки со случайными координатами в этот круг. Уже 0. Ну, если хочется, можно радиус круга устремить к нулю, и ещё раз посчитать, что вероятность попадания в круг равна нулю. То же самое с двумя известными точками и третьей точкой. Возьмём две прямых, параллельных отрезку из первых точек. Если расстояние между каждой прямой и одной из точек даже не стремится к нулю, а просто конечны, вероятность попадания третьей точки в полосу из этих прямых ноль.

Укажу, что данные рассуждения к задаче в топике и уточнённому варианту задачи из поста #5 относятся опосредованно.

Сообщение от TheFox Некорректность в бесконечности плоскости

Нет.

Сообщение от TheFox с последующим нахождением отношения площадей этих областей, что в данном случае не представляется возможным.

Неверно. Вполне возможно.

0

Сообщение от Cyborg Drone Неверно. Вполне возможно.

Ну да, чуть подольше подумал, и вроде все ОК. В общем случае задача похоже не должна отличаться от бросания точек на окружность, а такую я где то видел. Так что вполне возможно, что она вполне корректна.

0

Нет, некорректность есть.

Подсказка: после устранения некорректности получаются две различные (пусть и очень похожие) задачи, и ответы у этих задач разные.

0