Интерполирование функции различными методами

Доброго дня уважаемые форумчане.
Собственно, студент попросил помощи в составлении программы на эту тему. Программу то я составлю. Но вот не могу до конца понять этих методов, хоть ты тресни. А, наверное из-за этого же, не могу понять и некоторые пункты задания. Само задание я написал в конце в блоке "Не по теме", чтобы не заострять на нём внимание. Попытаюсь объяснить чего мне не понятно.
1. Интерполируем мы по нескольким узлам, представленным в таблице. Как можно оценить погрешность интерполяции? В имеющихся узлах значения будут совпадать. В других точках мы не знаем. На участке между узлами функция может принимать любые значения, которые совершенно не прикладываются к полиному Лагранжа. Если сравнивать с функцией (через значение или производные), то зачем тогда это интеполирование нужно? Если мы знаем функцию? А если функцию не знаем как можно оценить?
2. Как можно, тем более, "оценить точность каждого метода" если методы Лагранжа, Ньютона и Эйткена - есть суть одного полинома, только получаемого разными способами? (Или я чего-то не понял?)
3. Метод Эйткена. Как я понял строится полином по 2-м точкам, потом по 3-м, по 4-м и т.д. Опять же как оценить когда нужно остановиться?
4. "Реализовать модуль тестирования". Опять же. Чтобы проверить качество интерполяции - нужно знать саму формулу функции. Ну сделаю я разложение выражения в формулу, нарисую 2 графика: полинома и функции. Какая ещё может быть оценка? Если путём получения производной какой-то степени от функции, то программное получение производной от заданной пользователем функции уже задача, как минимум, на курсовую, имхо.
5. Какой смысл в прямой и в обратной формулах Ньютона, если немного меняются вычисления, но по затратам времени, практически не отличаются оба этих метода? Предположу что при большом количестве точек выбираем формулу с тем расчётом, чтобы q получилось меньше. Наверное в этом случае время перемножения будет меньше.
6. Что можно показать на экране при реализации каждого из упомянутых методов? Ну, полином будет один и тот же. (Или нет?) Графики тоже. Ну нарисовал я эту косую таблицу для метода Ньютона. А для Лагранжа и Эйткена?

Спасибо, что дочитали хоть до этого места. Буду надеяться, что получу ответы хоть на некоторые вопросы. Буду признателен за любые ответы.
Да, читал я соответствующие темы и в Википедии, и в методичках. Но вот так понял, как описал.


Пусть простят меня модераторы за большое количество вопросов в одной теме. Но они все, как бы, связаны.

0

Сообщение от Одиночка 1. Интерполируем мы по нескольким узлам, представленным в таблице. Как можно оценить погрешность интерполяции? В имеющихся узлах значения будут совпадать. В других точках мы не знаем. На участке между узлами функция может принимать любые значения, которые совершенно не прикладываются к полиному Лагранжа. Если сравнивать с функцией (через значение или производные), то зачем тогда это интеполирование нужно? Если мы знаем функцию? А если функцию не знаем как можно оценить?

Начнем-с с того, для чего интерполяция нужна:
1. Применяется для аппроксимации функции (это вы и сами уже указали).
2. Для обработки данных эксперимента: скажем, определили значения функции в n точках-узлах, нужно найти в точке, которая не является узлом.
3. Сглаживание (в графике компьютерной, чаще сплайнами и кривыми Безье).
4. Для нахождения производной функции, заданной таблично.
***
Как оценить погрешность интерполяции? Если функция, которую приближаем интерполирующей, известна, то задача достаточно проста - формулы есть. И используются в этих формулах производные. Если аналитическое выражение для функции не известно, то можно использовать формулы приближенного счета - конечные разности. Правда, есть заковыка - все известные формулы используются при некотором допущении - конкретно в этом случае - что приближаемая функция достаточно гладкая (имеет производные до n+1 порядка включительно). Оценить, насколько допущение справедливо, должен уже тот, кто его применяет. Причем "вручную". Применяя свой личный опыт и знания.

Сообщение от Одиночка 2. Как можно, тем более, "оценить точность каждого метода" если методы Лагранжа, Ньютона и Эйткена - есть суть одного полинома, только получаемого разными способами? (Или я чего-то не понял?)

Точность у всех перечисленных методов одинаковая. Но есть ведь и другие методы. Например - интерполяция кубическими сплайнами.

Сообщение от Одиночка 4. "Реализовать модуль тестирования". Опять же. Чтобы проверить качество интерполяции - нужно знать саму формулу функции. Ну сделаю я разложение выражения в формулу, нарисую 2 графика: полинома и функции. Какая ещё может быть оценка? Если путём получения производной какой-то степени от функции, то программное получение производной от заданной пользователем функции уже задача, как минимум, на курсовую, имхо.

Снова возвращаемся к п.1.

Сообщение от Одиночка 6. Что можно показать на экране при реализации каждого из упомянутых методов? Ну, полином будет один и тот же. (Или нет?) Графики тоже. Ну нарисовал я эту косую таблицу для метода Ньютона. А для Лагранжа и Эйткена?

Скорее всего надо следующее: нарисовать график, указать на нем узлы интерполяции и выписать коэффициенты полинома (можно сам полином (аля x^2+3x или что-то подобное) нарисовать). Если говорить о перечисленных вами полиномах - Лагранжа, Ньютона и Эйткина - хотят от вас следующее: вы должны показать, что все три метода дают одинаковый результат, можно говорить о том, что все они решают задачу одинаково хорошо. Смысл в том, что к одному ответу можно прийти разными путями и выбираем тот путь, который в конкретной ситуации наиболее удобен.

Сообщение от Одиночка Пусть простят меня модераторы за большое количество вопросов в одной теме. Но они все, как бы, связаны.

Ну, это один вопрос, в каждом пункте по разному пересказанный (за исключением 6-ого). Так что простим.

2