Метод простых итераций

@dicesmt · Регистрация: 23.09.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пусть имеется система: Ax=b

В теории говорится, что данную систему можно привести к виду: x=Sx+d, где S=E-tA (S-матрица переходов), d=tb.

Далее строится последовательность приближений к решению системы. За начальное приближение x₀ можно взять произвольный вектор. При подстановке этого приближения в исходное уравнение получаем невязку r₀=b-Ax₀. Вычислив эту невязку можно уточнить приближение по следующей формуле: x₁=x₀+tr₀. Данный процесс продолжаем до тех пор, пока полученное приближение не получится достаточно точным.
Теперь вопрос: зачем нужно искать матрицу переходов S и вектор d, если во время итерационного процесса они нигде не используются, а итерационный параметр t можно вычислить по формуле 2/||A||?

@regio1961 · 03.10.2016, 13:46

Сообщение от dicesmt

Данный процесс продолжаем до тех пор, пока полученное приближение не получится достаточно точным.

А где гарантия, что приближение "получится достаточно точным"? Т.е., что процесс сходится. Исходную систему надо не просто привести к виду x = Sx + d, а определить матрицу S так, чтобы она отвечала некоторым условиям, например,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?||S|| \, < \, 1$ или, чтобы её собственные значения по абс. величине были меньше 1.

@dicesmt · 03.10.2016, 15:16 **[ТС]**

Спасибо, теперь у меня возникает вопрос по поводу решения, потому что оно не сходится

. У меня имеется СЛАУ. Коэффициенты при неизвестных образуют невырожденную, положительно определенную, симметричную матрицу. Решение нужно найти методом простых итераций. Исходная система имеет вид Ax=b. Я нахожу значение итерационного параметра для этого метода по формуле: t=0.9*2/||A||. Далее по формулам для этого метода я нахожу матрицу переходов S=E-tA и вектор d=tb.
Возьмем за x_k (начальное приближение) произвольный вектор, тогда:
x_k+1=Sx_k+d .
Или x_k+1=(E-tA)x_k+tb .

Подскажите, в чем может быть ошибка?

@regio1961 · 03.10.2016, 16:14

Сообщение от dicesmt

Я нахожу значение итерационного параметра для этого метода по формуле: t=0.9*2/||A||

Откуда эти значения? Какова норма ||E-tA||? Если ||E-tA|| >= 1, то процесс не обязан сходиться.

@dicesmt · 03.10.2016, 16:47 **[ТС]**

Прошу прощения, оказалось, что я очень невнимательный, моя матрица была не положительно определенная, теперь все сходится.

Сообщение от regio1961

Откуда эти значения?

По следствию из теоремы для метода простых итераций: если исходная матрица симметрична, положительно-определена, t>0 и E-0.5tA>0, то метод простых итераций сходится при t<2/||A||.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .

@dicesmt 1 / 1 / 2 Регистрация: 23.09.2016 Сообщений: 52

	Метод простых итераций 02.10.2016, 19:41. Показов 1949. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Пусть имеется система: Ax=b В теории говорится, что данную систему можно привести к виду: x=Sx+d, где S=E-tA (S-матрица переходов), d=tb. Далее строится последовательность приближений к решению системы. За начальное приближение x₀ можно взять произвольный вектор. При подстановке этого приближения в исходное уравнение получаем невязку r₀=b-Ax₀. Вычислив эту невязку можно уточнить приближение по следующей формуле: x₁=x₀+tr₀. Данный процесс продолжаем до тех пор, пока полученное приближение не получится достаточно точным. Теперь вопрос: зачем нужно искать матрицу переходов S и вектор d, если во время итерационного процесса они нигде не используются, а итерационный параметр t можно вычислить по формуле 2/\|\|A\|\|? 0

@dicesmt 1 / 1 / 2 Регистрация: 23.09.2016 Сообщений: 52
	03.10.2016, 15:16 [ТС]
	Спасибо, теперь у меня возникает вопрос по поводу решения, потому что оно не сходится. У меня имеется СЛАУ. Коэффициенты при неизвестных образуют невырожденную, положительно определенную, симметричную матрицу. Решение нужно найти методом простых итераций. Исходная система имеет вид Ax=b. Я нахожу значение итерационного параметра для этого метода по формуле: t=0.9*2/\|\|A\|\|. Далее по формулам для этого метода я нахожу матрицу переходов S=E-tA и вектор d=tb. Возьмем за x_k (начальное приближение) произвольный вектор, тогда: x_k+1=Sx_k+d . Или x_k+1=(E-tA)x_k+tb . Подскажите, в чем может быть ошибка? 0