Как вывести подобную формулу для arccos(x), используя приведенную выше формулу?

@ili1 · 10.04.2018, 10:16. **Показов** 2395. **Ответов** 6

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Несомненно многие знают приближенную формулу arcsin(x) = x. Но есть
подобная приближенная формула и при икс близком к 1. Выведем эту
формулу - это так просто.
1. имеем y = arcsin(x) или sin(y) = x
2. поскольку y близко к pi/2 и y < pi/2 (последнее важно запомнить), то
имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin(y)=1-\frac{(y-\frac{\pi}{2})^2}{2}=x$
и далее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y -\frac{\pi}{2})^2=2(1-x)$ (вспоминая, что y < pi/2)
получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{\pi}{2}-\sqrt{2(1-x)}$ или

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}-\sqrt{2(1-x)}$

3. относительная погрешность этой формулы
при x = 0,6 погрешность 5,1%
при x = 0,8 погрешность 1,2%
при x = 0,9 погрешность 0,34%
при x = 0,95 погрешность 0,1%

Вопрос
А как вывести подобную формулу для arccos(x), используя приведенную
выше формулу? И что произойдет с относительной погрешностью?

@mathmichel · 10.04.2018, 10:31

У Вас уже готовая формула для арккосинуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arccos(x)\approx \sqrt{2(1-x)}$ для х, близких к 1

@ili1 · 10.04.2018, 10:45 **[ТС]**

mathidiot,
спасибо. Но погрешность видимо возрастет? Ведь арккосинус
стремится к нулю?

@Fulcrum_013 · 10.04.2018, 10:53

ili1, главная проблема в другом - формула не даст ощутимого снижения потребных вычислений по сравнению с acos. извлечение корня FPU делает тоже разложением в ряд как и вычисление тригономитрических функций.

@ili1 · 10.04.2018, 11:10 **[ТС]**

Fulcrum_013,
спасибо. Вы понимаете, это делается не только для прямых вычислений
или оценки погрешности. Замена одной функции другой применяется для
приближенного решения трансцендентных уравнений и систем уравнений.
В отличие от численного решения, можно в ряде случаев получить
аналитическое решение (приближенное естественно). Были случаи когда
полученные подобным способом формулы "цены не имели" - столь велико
было их значение.

@mathmichel · 10.04.2018, 11:15

Это быстро сходящийся ряд для арккосинуса, следующий член разложения в ряд Тейлора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{2(1-x)^3}}{12}$ для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sim 1$

@ili1 · 10.04.2018, 13:55 **[ТС]**

mathidiot,
спасибо. Я этого не знал. Но теперь познакомлюсь поближе.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .

Как вывести подобную формулу для arccos(x), используя приведенную выше формулу?

Решение

Решение

Решение

@ili1 Заблокирован

	Как вывести подобную формулу для arccos(x), используя приведенную выше формулу? 10.04.2018, 10:16. Показов 2395. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Несомненно многие знают приближенную формулу arcsin(x) = x. Но есть подобная приближенная формула и при икс близком к 1. Выведем эту формулу - это так просто. 1. имеем y = arcsin(x) или sin(y) = x 2. поскольку y близко к pi/2 и y < pi/2 (последнее важно запомнить), то имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin(y)=1-\frac{(y-\frac{\pi}{2})^2}{2}=x$ и далее $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y -\frac{\pi}{2})^2=2(1-x)$ (вспоминая, что y < pi/2) получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\frac{\pi}{2}-\sqrt{2(1-x)}$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}-\sqrt{2(1-x)}$ 3. относительная погрешность этой формулы при x = 0,6 погрешность 5,1% при x = 0,8 погрешность 1,2% при x = 0,9 погрешность 0,34% при x = 0,95 погрешность 0,1% Вопрос А как вывести подобную формулу для arccos(x), используя приведенную выше формулу? И что произойдет с относительной погрешностью? 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11070 / 7371 / 3989 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,808
	10.04.2018, 10:31
	Сообщение было отмечено ili1 как решение Решение У Вас уже готовая формула для арккосинуса: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?arccos(x)\approx \sqrt{2(1-x)}$ для х, близких к 1 1

@ili1 Заблокирован
	10.04.2018, 10:45 [ТС]
	mathidiot, спасибо. Но погрешность видимо возрастет? Ведь арккосинус стремится к нулю? 0

@Fulcrum_013 2083 / 1574 / 169 Регистрация: 14.12.2014 Сообщений: 13,614
	10.04.2018, 10:53
	Сообщение было отмечено ili1 как решение Решение ili1, главная проблема в другом - формула не даст ощутимого снижения потребных вычислений по сравнению с acos. извлечение корня FPU делает тоже разложением в ряд как и вычисление тригономитрических функций. 1

@ili1 Заблокирован
	10.04.2018, 11:10 [ТС]
	Fulcrum_013, спасибо. Вы понимаете, это делается не только для прямых вычислений или оценки погрешности. Замена одной функции другой применяется для приближенного решения трансцендентных уравнений и систем уравнений. В отличие от численного решения, можно в ряде случаев получить аналитическое решение (приближенное естественно). Были случаи когда полученные подобным способом формулы "цены не имели" - столь велико было их значение. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11070 / 7371 / 3989 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,808
	10.04.2018, 11:15
	Сообщение было отмечено ili1 как решение Решение Это быстро сходящийся ряд для арккосинуса, следующий член разложения в ряд Тейлора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{2(1-x)^3}}{12}$ для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sim 1$ 1

@ili1 Заблокирован
	10.04.2018, 13:55 [ТС]
	mathidiot, спасибо. Я этого не знал. Но теперь познакомлюсь поближе. 0