Построение трисекции возможно - математическое доказательство

Давно пробовал трисекцию построить - не получилось. А тут на одном из форумов человек создал тему с якобы решением. Ему были заданы вопросы по его решению - ответов пока не последовало, ну и чтобы самому не выглядеть дураком при задавании вопросов я решил что нужно сначала док-ть что построение трисекции возможно, чтобы не выглядеть от заданных вопросов идиотом.
Понятное дело что построение трисекции - обычная процедура деления, проблема вся в том, что дугу можно делить только на два, на три нельзя.
Ну собственно моё примитивненькое решение-доказательство:

трисекция ищется через число 12 - оно меньшее из тех, что делится на 2 и на 3 и даёт однозначный результат - в виде числа из одного знака. 16 - это число полученное в результате возведения 2 в степень, дугу делить на две равные части легко. 192 делится и на 12 и на 16, следующее ближайшее к 192 число полученное от возведения 2 в степень - 256 .
число берётся большее, потому что оно должно включать в себя 192 как составное значение.
далее задача сводится к тому, чтобы имея отрезок 1/256 дуги получить 1/192.
192 относится к 256 как 3/4. чтобы на дуге где имеется 1/256 деление получить отрезок дуги в 1/192 деление нужно достроить дугу на 1/4 её общей длины, и произвести 8 делений на 2 всей полученной дуги и каждого отрезка дуги полученного в результате предыдущего деления.
имея 192 деления на изначальной дуге от данных процедур (или просто отрезок дуги 1/192)- вы легко получите трисекцию.
С циркулем возиться не хочу, да и упрощать собственное док-во, нет в этом нужды.
Если кто-то укажет мне мои ошибки - заранее благодарен.

Добавлено через 1 час 2 минуты
Упростить могу только так: достраиваем дугу от необходимого угла на 1/4, производим с достроенной дугой то, о чём говорилось ранее

Сообщение от Hretgir произвести 8 делений на 2 всей полученной дуги и каждого отрезка дуги полученного в результате предыдущего деления

полученный отрезок будет соответствовать 1/192 изначальной дуги - а там уже и трисекция изначальной дуги.

Добавлено через 34 минуты
ошибка в том, что увеличивать дугу нужно не на 1/4, а на другую длину - на 1/3.

Добавлено через 9 минут
Пост обработка

Понятное дело что построение трисекции - обычная процедура деления, проблема вся в том, что дугу можно делить только на два, на три нельзя.
Ну собственно моё примитивненькое решение-доказательство:
Трисекция ищется через число 12 - оно меньшее из тех, что делится на 2 и на 3 и даёт однозначный результат - в виде числа из одного знака. 16 - это число полученное в результате возведения 2 в степень, дугу делить на две равные части легко. 192 делится и на 12 и на 16, следующее ближайшее к 192 число полученное от возведения 2 в степень - 256 .
число берётся большее, потому что оно должно включать в себя 192 как составное значение.
далее задача сводится к тому, чтобы получить отрезок отрезок дуги 1/192.
192 относится к 256 как 3/4.
Поэтому, чтобы получить 1/192 нужно достроить имеющуюся дугу на 1/3 , что является невозможным, потому что степени числа 2 на 3 не делятся.

0

Уважаемый Hretgir,
любое геометрическое построение можно свести к решению либо линейных, либо квадратных уравнений. А трисекция? Пусть нам задан угол 3u и требуется найти (построить) угол u. Вместо углов можно оперировать тригонометрическими функциями этих углов. Итак имеем.
sin(3u) = 3sin(u) - 4sin³(u)
То есть мы должны решить кубическое уравнение 4z³ - 3z + a = 0
где z = sin(u), a = sin(3u)
Но кубическое уравнение нельзя решить с помощью квадратных радикалов. Иными словами, трисекция угла невозможна с помощью циркуля и линейки.

примечание 1
В то же время трисекция возможна для целого ряда частных случаев. Например для прямого угла.

примечание 2
приближенное решение. Если угол мал, то возможна приближенная трисекция этого угла. В самом деле, наше уравнение 4z³ - 3z + a = 0 примет вид 3z = a ; z = a / 3

0

Сообщение от нтч любое геометрическое построение можно свести к решению либо линейных, либо квадратных уравнений.

это так.
но можно и не решать уравнения, потому что в них можно запутаться самому, тем более когда заведомо знаешь, что задача относится к неразрешимым.
поэтому проще воспользоваться численным док-вом.
я хотел док-ть что можно, а доказал что нельзя.
нет такой степени числа 2, результат которой делился-бы на 3.

0

Уважаемый Hretgir,
ваши рассуждения верны, НО они не могут служить в качестве доказательства.
Иными словами, вы решаете (доказываете) частный случай. А общий случай -
это приведенный мною выше. То есть, что кубическое уравнение нельзя решить
с помощью квадратных корней.

примечание
есть много частных решений. Например углы вида 90° / 2ⁿ (где n = 0, 1, 2, ...) можно разделить на три части. Так же трисекция возможна если исходный угол есть конечная сумма углов, каждый из которых подлежит разрешению трисекции.

0

Сообщение от нтч ваши рассуждения верны, НО они не могут служить в качестве доказательства. Иными словами, вы решаете (доказываете) частный случай.

ну может и так, только этот частный случай указывает на истину, и мне этого хватает. На кубические уравнения сейчас у меня нету времени.

0

Сообщение от Hretgir Поэтому, чтобы получить 1/192 нужно достроить имеющуюся дугу на 1/3 , что является невозможным, потому что степени числа 2 на 3 не делятся.

Вы меня извините, но в отличии от нтч мне не видно здесь вообще никакого доказательства чего-то ни было. Да и к численным методам это никаким боком.

1

Уважаемый kabenyuk,
ТС хочет решить задачу именно численным методом. Во-первых он делит дугу на 256.
Что всегда возможно. Во-вторых находит от этой (исходной) дуги часть 1/192 = 1/(64 * 3) =
1/ (256 * 3/4)...?. (вот здесь жутко интересная логика!) ... Честно говоря, всё можно сделать проще.
Но я не хочу навязывать ТС своего мнения.
В конце концов, трисекция угла (дуги) действительно решается приближенно.
А в частных случаях есть точное решение.

0

Сообщение от нтч (вот здесь жутко интересная логика!)

Сообщение от нтч Честно говоря, всё можно сделать проще.

да нет уж, проще вряд-ли получится, но я не настаиваю на данном утверждении.

Сообщение от нтч Во-первых он делит дугу на 256

дугу я не делю на 256, я её могу поделить, а исходную дугу мне надо поделить на 192, но я не могу этого сделать - поэтому нужно достроить дугу так, чтобы её исходная часть составляла 192 достроенной дуги до 256. А так, как 192/256 относится как
3/4, то исходную дугу нужно достроить на 1/3, что собственно вынуждает перейти к попытке поиска числа полученного в результате возведения 2 в степень, которое -бы делилось на 3, но такого числа - не существует, что ставит задачу в ряд не выполнимых.
То-есть тут я перебрал 2 варианта по факту, да выглядит это как одно но с лишним, а на самом деле здесь когда не получилось одно - была попытка смены метода, и там облом - результата быть не может тоже.

Добавлено через 14 минут
Да 3/4 части дуги я могу поделить на три. Но что это даёт...
Они и так поделены как 3 от четырёх. Ничего это не даёт.

0