Как вычислить арккосинус?

Я конечно знаю как вычислить арккосинус. Тем более, что здесь на форуме, я нашёл пару интересных формул. Их даже в википедии нет. Вот если бы я их своими глазами не увидел, то не поверил бы в существование этих формул. Чтобы пояснить сущность вопроса, я покажу вам, как была решена одна подобная задача связанная с арксинусом. А уже потом будет уточнён вопрос.

Информация к решению задачи:
1. мне как-то потребовалось аппроксимировать функцию y = arcsin(x). Но многочлен давал большую погрешность, а квадратные корни для решения не годились. Возник вопрос: Как всё-таки повысить точность арксинуса? Ведь необходимо, чтобы в точке x = 1 производная аппроксимирующей функции была равна бесконечности. Решение пришло с пониманием одной простой вещи. А что если задать арксинус как параметрическую функцию. Это ведь не многочлен. Пара кубических парабол может дать больше, чем обычная функция. Ведь такая функция может иметь производную в точке x = 1 равную бесконечности. Вот вид такой функции: (смотрите рис. аппроксимирующая функция задана чёрными точками (для лучшей видимости) на красной линии арксинуса)
x = a * u + b * u³
y = a * u + c * u³
u - параметр принадлежащий отрезку [-1; 1]
a, b, c - неизвестные, которые удовлетворяют условию того, что наша функция аппроксимирует арксинус
a + b = 1
a + c = 1,5708
a + 3b = 0
последнее условие выводится из того, что dy/dx = (a + 3c * u²)/(a + 3b * u²)
Производная при x = 1 (u = 1) должна быть равна бесконечности. То есть знаменатель равен 0.
Система уравнений простая и вот её решение:
a = 1,5
b = -0,5
c = 0,0708
И арксинус аппроксимируется функцией
x = 1,5 * u - 0,5 * u³
y = 1,5 * u + 0,0708 * u³

Погрешность этой функции равна 0,15%

2. Вопрос: А как нечто подобное сделать с арккосинусом?
Я уже пробовал воспользоваться полученным результатом. То есть сдвигал исходную функцию, поворачивал "на бок" и ... Могу только сказать, что с параметрическими функциями я ещё так близко не сталкивался. Видимо отсюда и такие сложности от необычности самой задачи и её решения.

Миниатюры

 

0

Выражение при у замените на противоположное (поставьте минус) и прибавьте пи/2

1

Сообщение от das1 мне как-то потребовалось аппроксимировать функцию y = arcsin(x). Но многочлен давал большую погрешность

Абрамовиц, Стиган "Справочник по специальным функциям", стр.46:

1

Разве арксинус давно не считает спец микросхема процессора и это быстрей и точней любых аппроксимаций?

0

Зря я наверно вмешиваюсь, но чел задал простой и конкретный вопрос, и не спрашивал как ему долететь на Луну, стать миллионером или узнать что-то новое о процессорах. Более того четко написал то что ему точно не нужно: приближение многочленами)

0

Итерационные методы сходятся несравнимо лучше рядов.
Решаем уравнение
sin(x)+x-a=x
и получаем x=arcsin(a)

1

Сообщение от qtkoder777 Итерационные методы сходятся несравнимо лучше рядов

Если речь не идёт о методе простой итерации, сходимость которого плохая. Гораздо лучше использовать ньютоновские итерации или даже половинного деления!
Да и вопрос ТС был совсем другой, как от готовой формулы для арксинуса перейти к арккосинусу!

1

Сообщение от qtkoder777 Решаем уравнение sin(x) + x - a = x и получаем x = arcsin(a)

Ваше уравнение в том виде, в каком вы его задали не сходится к arcsin(a).
Однако хочу сказать вам спасибо за поданную мысль. Уравнение sin(x) = a можно решить методом дихотомии.

И я нашёл ещё одно решение методом итераций
1. x = a
2.
3. если сделать N итераций, то
(достаточно 10 итераций, чтобы получить 7 точных знаков)

0

По методу Ньютона три итерации дают 9 точных знаков для arcsin(0.5)

Миниатюры

 

1