Арккосинус комплексного числа

В данный момент изучаю комплексные числа, мне нравится самостоятельно выводить формулы, но с обратной тригонометрической функцией арккосинуса возникли проблемы.
Пусть есть комплексное число , известно, что косинус любого комплексного числа вычисляется так: , тогда для расчёта арккосинуса необходимо решить данную систему уравнений(при известных и ):

Для примера возьмём конкретные значения: Пусть есть комплексное число , тогда его косинус будет равен и для нахождения исходных значений нужно решить эту же систему но с известными:

Попробуем решить для переменной :

1. 
2. 
3. 

Дальнейшие решение уравнения с шага 3 приведет к двум корням с отличным знаком и они действительно будут удовлетворять его. При этом уравнение из шага 2 содержит гиперболический синус, который чувствителен к знаку(нечётный), т.е. знак результата зависит от знака аргумента, и в следствии, только один корень окажется корректным. То-есть, из двух получившихся корней правильный будет такой: .
Как правильно решать это уравнение, что-бы корень был только один и вычислялся "чисто-алгебраически"?

0

Можно возвести оба уравнения системы, написанную после этих слов

Сообщение от pavelDev необходимо решить данную систему уравнений(при известных и ):

, в квадрат и во втором уравнении выразить синусы через квадраты соответствующих косинусов - тригонометрический либо гиперболический. В результате выйдет квадратное уравнения (по теореме Виета) с корнями

Дальше извлекаете корни и согласовываете знаки, учитывая, что ch всегда положительный.

Сообщение от pavelDev что-бы корень был только один

Так может и не выйти. Даже квадратное уравнение имеет до двух корней.

0

jogano, Видимо, я недостаточно точно разделил вводную часть вопроса от сути проблемы. Таким образом, загвоздка заключается в том, что приведенный аналитический способ решения исходной системы в результате образует два корня для мнимой части и один для действительной(т.е. два возможных y и один x). Такого быть не должно, так как целью является нахождение первообразного комплексного числа для которого был рассчитан косинус(с учётом области значений и области определения). Может быть есть другой, аналитический метод решения той системы но дающий однозначный ответ?

0

Сообщение от pavelDev Таким образом, загвоздка заключается в том, что приведенный аналитический способ решения исходной системы в результате образует два корня для мнимой части и один для действительной(т.е. два возможных y и один x)

Насколько я понял, Вы не получили этим методом два корня исходной системы уравнений, поскольку где-то после слов «Попробуем решить для переменной y» делали неэквивалентные переходы:
(1) следует из системы уравнений, (2) эквивалентна (1), (3) следует из (2).
При переходе от уравнения к другому через следствие гарантировано сохраняются все корни, но могут появиться новые. Что и произошло.

Вам предложили, во-первых, выразить квадраты cos x и ch y более просто и, во-вторых, добавить к этим уравнениям неравенства на знаки, чтобы полученная система из двух уравнений и двух неравенств была эквивалентна исходной.

1

Mysterious Light, В общем, я запутался в интерпретации результатов и попробую описать проблему заново.
Во первых система: имеет две пары корней: и .
Во вторых, решение уравнения(1) приводит к двум корням с противоположенными знаками: .
Однако, если выполнить проверку, то:

• Для : , что совпадает с результатом уравнения(1) и значит корень 0.6 является корректным.
• Для : , так как то корень -0.6 является некорректным.

Наличие отрицательного корня обусловлено шагом 3:

1. Единственный корень - положительный. WolframAlpha
2. Тоже самое.
3. - На данном этапе появляется отрицательный корень . Можно убедиться с помощью WolframAlpha

В третьих, зная рассчитать не составит труда, но нужно правильно выбрать уравнения для выполнения этого. Согласно системе, рассчитать можно двумя способами:

1. 
2. 

Так как гиперболический косинус не чувствителен к знаку аргумента, то правильней будет выбрать уравнение (2). Выполнив подстановку получим . Первая пара корней найдена!
На этом описательная часть заканчивается.

Теперь вопросы: Как лучше понимать наличие отрицательного корня? C одной стороны он не удовлетворяет начальное уравнение, но также является верным решением. То-есть можно сделать вывод, что первый шаг решения системы "забирает" отрицательный корень, однако он становиться вновь доступен с шага 3. Ситуация выглядит странной, как она называется в математике?

0

Сообщение от pavelDev я запутался в интерпретации результатов и попробую описать проблему заново.

Мы поняли вашу проблему и в написании ещё раз одного и того же смысла особого нет.
Я понадеялся, что вы сами согласуете знаки, а не будете ждать готовое окончательное решение (как делает большинство обращающихся сюда). Но вы проделали такую большую работу в редакторе формул, что упрекнуть вас в лени нельзя.
Итак, ваш последний пост (#5) детально, раз вам так хочется делать систему неэффективным и долгим способом - методом подстановки....

Сообщение от pavelDev Во первых система: имеет две пары корней:

На самом деле бесконечное количество пар комплексных значений, что проистекает из свойств косинуса в комплексной плоскости - чётность и периодичность. То есть, если вы нашли корень z уравнения , то выполнено так же и (периодичность по действительной части, то есть по х), и (чётность). Так что наличие корней системы z=0,5+0,6i и z=-0,5-0,6i совсем не удивительно. Ещё раз - если вы решаете уравнение , то получаете бесконечное множество решений, которые можно выразить через какое-то одно решение: , нравится вам это или нет. Какое вы именно комплексное число подставляли исходно, чтобы получить значение косинуса - не важно, вы его не восстановите. Что можно сделать - исходно брать комплексное число только в верхней полуплоскости в пределах действительной части .
Дальше,

Сообщение от pavelDev Во вторых, решение уравнения(1)

Вылез ваш пробел 10-го класса - если из первого уравнения системы вы выразили cosx, то почему-то считаете, что аргумент х равен , то есть значению от 0 до П, а на самом деле - вот вам начало чётности (ещё ж нужно доказать то же самое для переменной y) и периодичность по х. А синус arccos() и -arccos() отличаются знаками, а значит и знаки shy будут разные для arccos() и -arccos().
Всё это разбирать громоздко и долго, напоминает рубку дерева каменным рубилом...
Могу написать результат согласования знаков, то есть формулы для, как вы выразились, первообразного корня, из

0