Метод сопряжённых градиентов

LEQADA · Регистрация: 09.11.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем доброго времени суток. Хочу разобраться в методе сопряжённых градиентов. Нашёл в сети задачу разобранную. Некоторые моменты не понимаю. Построчно выписываю сюда решение и буду задавать вопросы. (Возможно, в этом решении есть ошибка)

Задача:
С помощью метода Флетчера – Ривса найти точку минимума функции :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( x \right) = 2x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1} - {x_1}{x_2}$
если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^0} = {(0;0)^T}$

Решение:
1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla f\left( x \right) = {\left(4{x_1} - {x_2} - 4; - {x_1} + 2{x_2}\right)^T}$
2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = {\nabla ^2}f\left( x \right) = {\left( 0;0 \right)^T}$ (Что это? Откуда взялось?)
3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( {{x^0}} \right) = {\left( - 4;0 \right)^T}$
4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{d_0} = - \nabla f\left( {{x^0}} \right) = {(4;0)^T}$
5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g\left( \lambda \right) = f\left( {{x^0} + \lambda {d_0}} \right) = 32{\lambda ^2} + 16\lambda$
6) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g'\left( \lambda \right) = 64\lambda - 16 = 0 \ \ \ {\lambda _0} = 0,25$
7) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^1} = {x^0} + {\lambda _0}{d_0} = {(1;0)^T}$
8) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta f\left( {{x^1}} \right) = {(0; - 1)^T}$
9) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\beta _0} = \frac{{{{\left\| {\nabla f\left( {{x^1}} \right)} \right\|}^2}}}{{\left\| {\nabla f\left( {{x^0}} \right)} \right\|}} = \frac{1}{{16}}$
10) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{d_1} = - \nabla f\left( {{x^1}} \right) + {\beta _0}{d_0} = {(1;0)^T} + {(\frac{1}{4};0)^T} = {(\frac{1}{4};1)^T}$
11) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x_2} = {x_1} + \lambda {d_1} = {(1 + \frac{1}{4}\lambda ;\lambda )^T}$
12) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g\left( \lambda \right) = 2 + \lambda + \frac{1}{8}{\lambda ^2} + {\lambda ^2} - 4 - \lambda - \lambda - \frac{1}{4}{\lambda ^2} = \frac{7}{8}{\lambda ^2} - \lambda - 2 = \frac{7}{8}{\lambda ^2} - \lambda - 2$
13) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g'\left( \lambda \right) = \frac{7}{8}\lambda - 1 = 0;\quad \lambda = \frac{4}{7}$
14) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^2} = {x^1} + \lambda {d_1} = {(\frac{8}{7};\frac{4}{2})^T}$
15) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla f\left( {{x^2}} \right) = {(0;0)^T}$
16) Точка минимума :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^2} = {(\frac{8}{7};\frac{4}{2})^T}$
17) Минимальное значение функции:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( {{x^2}} \right) = - 2\frac{{64}}{{49}} + \frac{{16}}{{49}} - \frac{{32}}{7} - \frac{{32}}{{49}} = - 2\frac{2}{7}$

Прошу прокомментировать происходящее в каждой строчке.

Евгений М. · 18.04.2012, 06:10

строку 2 выкидывайте.
берем точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ , считаем значение в этой точке (3) и антинаправление (4) в этой точке, выбираем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ из условия минимума функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_0 + \lambda d_0)$ по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ (5)(6).
7) Находим следующее приближение
8) Считаем градиент (там должен быть оператор набла как в (1), а не Лапласа)
Далее все почти по аналогии.
После (15) вычисления закончились т.к. норма вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bigtriangledown f(x^2)$ меньше эпсилона, который должен быть задан.

LEQADA · 18.04.2012, 06:41 **[ТС]**

Евгений М., 9) тоже ошибка. В знаменателе норма в квадрате. На дальнейшее вычисление не повлияло. Скорее, опечатка.

Добавлено через 12 минут
И в 3) ошибка. Должен стоять оператор набла перед функцией.

Евгений М. · 18.04.2012, 07:53

LEQADA, подтверждаю.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .	[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .
делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680

	Метод сопряжённых градиентов 17.04.2012, 19:42. Показов 3832. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Всем доброго времени суток. Хочу разобраться в методе сопряжённых градиентов. Нашёл в сети задачу разобранную. Некоторые моменты не понимаю. Построчно выписываю сюда решение и буду задавать вопросы. (Возможно, в этом решении есть ошибка) Задача: С помощью метода Флетчера – Ривса найти точку минимума функции : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( x \right) = 2x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1} - {x_1}{x_2}$ если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^0} = {(0;0)^T}$ Решение: 1) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla f\left( x \right) = {\left(4{x_1} - {x_2} - 4; - {x_1} + 2{x_2}\right)^T}$ 2) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A = {\nabla ^2}f\left( x \right) = {\left( 0;0 \right)^T}$ (Что это? Откуда взялось?) 3) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( {{x^0}} \right) = {\left( - 4;0 \right)^T}$ 4) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{d_0} = - \nabla f\left( {{x^0}} \right) = {(4;0)^T}$ 5) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g\left( \lambda \right) = f\left( {{x^0} + \lambda {d_0}} \right) = 32{\lambda ^2} + 16\lambda$ 6) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g'\left( \lambda \right) = 64\lambda - 16 = 0 \ \ \ {\lambda _0} = 0,25$ 7) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^1} = {x^0} + {\lambda _0}{d_0} = {(1;0)^T}$ 8) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta f\left( {{x^1}} \right) = {(0; - 1)^T}$ 9) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\beta _0} = \frac{{{{\left\\| {\nabla f\left( {{x^1}} \right)} \right\\|}^2}}}{{\left\\| {\nabla f\left( {{x^0}} \right)} \right\\|}} = \frac{1}{{16}}$ 10) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{d_1} = - \nabla f\left( {{x^1}} \right) + {\beta _0}{d_0} = {(1;0)^T} + {(\frac{1}{4};0)^T} = {(\frac{1}{4};1)^T}$ 11) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x_2} = {x_1} + \lambda {d_1} = {(1 + \frac{1}{4}\lambda ;\lambda )^T}$ 12) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g\left( \lambda \right) = 2 + \lambda + \frac{1}{8}{\lambda ^2} + {\lambda ^2} - 4 - \lambda - \lambda - \frac{1}{4}{\lambda ^2} = \frac{7}{8}{\lambda ^2} - \lambda - 2 = \frac{7}{8}{\lambda ^2} - \lambda - 2$ 13) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g'\left( \lambda \right) = \frac{7}{8}\lambda - 1 = 0;\quad \lambda = \frac{4}{7}$ 14) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^2} = {x^1} + \lambda {d_1} = {(\frac{8}{7};\frac{4}{2})^T}$ 15) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla f\left( {{x^2}} \right) = {(0;0)^T}$ 16) Точка минимума : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x^2} = {(\frac{8}{7};\frac{4}{2})^T}$ 17) Минимальное значение функции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left( {{x^2}} \right) = - 2\frac{{64}}{{49}} + \frac{{16}}{{49}} - \frac{{32}}{7} - \frac{{32}}{{49}} = - 2\frac{2}{7}$ Прошу прокомментировать происходящее в каждой строчке. 0

Евгений М. 1080 / 1007 / 107 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	18.04.2012, 06:10
	строку 2 выкидывайте. берем точку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0$ , считаем значение в этой точке (3) и антинаправление (4) в этой точке, выбираем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ из условия минимума функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x_0 + \lambda d_0)$ по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda$ (5)(6). 7) Находим следующее приближение 8) Считаем градиент (там должен быть оператор набла как в (1), а не Лапласа) Далее все почти по аналогии. После (15) вычисления закончились т.к. норма вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bigtriangledown f(x^2)$ меньше эпсилона, который должен быть задан. 1

LEQADA Мастер кустарных методов 232 / 227 / 17 Регистрация: 09.11.2010 Сообщений: 680
	18.04.2012, 06:41 [ТС]
	Евгений М., 9) тоже ошибка. В знаменателе норма в квадрате. На дальнейшее вычисление не повлияло. Скорее, опечатка. Добавлено через 12 минут И в 3) ошибка. Должен стоять оператор набла перед функцией. 0

Евгений М. 1080 / 1007 / 107 Регистрация: 28.02.2010 Сообщений: 2,889
	18.04.2012, 07:53
	LEQADA, подтверждаю. 0