Апроксимация функции методом наименьших квадратов

@Klinnia · Регистрация: 09.11.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, с методом разобраться. Есть, предположим, таблично заданная функция. Есть её график. Но нужно найти ещё и апроксимирующую функцию, чтобы можно было узнать значения концентрации на разном расстоянии (задача по экологии). Пробовала интерполяцию сделать Ньютоном, но это оказалось совсем не то. А с МНК не могу разобраться.

График "по точкам"

@Том Ардер · 27.03.2013, 23:33

Можно попробовать интерполяцию сплайнами.
Или, учитывая, что зависимость далека от линейной, попробовать различные функциональные зависимости вида

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(L)=a{L}^{\nu }+b,\; C(L)=\frac{a}{L+b}$

для МНК.

@Klinnia · 28.03.2013, 01:37 **[ТС]**

А коэффициенты а и b вот так должны определяться?

@Том Ардер · 28.03.2013, 02:24

Сообщение от Klinnia

А коэффициенты а и b вот так должны определяться?

Нет, эти формулы только для линейной зависимости.

@MOHCTP · 28.03.2013, 11:21

Сплайны должны прокатить, функция достаточно гладкая. Пытался подогнать под C(L) = C₀ + C₁*exp(-k*L), там существенная ошибка, превышающая точность данных многократно. А вот степенная зависимость, которую предложил Том Ардер, она подходит чуть получше. У меня получилось a = -6.3099, v = 0.3399, b = 59.97 (b не равно С(0), т.е. первая точка уходит в выброс!). Числа даны с избыточными цифрами, я признаю. Но все равно вычисления от точности данных отстают. Хотя, может, и сами эти данные тоже с избыточными цифрами? Приличный вариант получается, если фоновое значение брать не постоянным (b), а линейно меняющимся. Т.е подгоняем под функцию
C(L) = aL^v + b + cL
При a = -5.133, v = 0.4209, b = 59.90, с = 0.05594 соответствие очень пристойное, и первая точка на месте.

@Klinnia · 28.03.2013, 15:23 **[ТС]**

Так, найти нормальное описание подобных степенных зависимостей не смогла. Разобралась вроде бы с МНК. Если просто составлять систему уравнений с a0, a1 и a2, то получается a0=54.79, a1=-0.44 a2=0.0018
Получается многочлен и график, но график не верный, он никак не может идти вверх (по сути график представляет собой концентрацию вредных веществ в воде в зависимости от расстояния, нам нужно найти, на каком расстоянии он будет приближаться к нулю).

@Klinnia · 28.03.2013, 18:51 **[ТС]**

Подставила просто ваши цифры в многочлен, получила что-то хорошее, но я всё равно, если честно, не могу понять, как именно вы получили коэффициенты.

@MOHCTP · 29.03.2013, 07:42

Есть много программ, которые позволяют подбирать параметры зависимости. Я обычно использую Excel, пользуюсь надстройкой "Поиск решения". Как это примерно делается, я кратко написал в соседней теме. Эта штука весьма устойчивая и эффективная, поскольку сначала подбор идет симплекс-методом, а потом - по Ньютону-Рафсону. К сожалению, не выдается ковариационная матрица (которая все равно для Ньютона считается), и нельзя оценить погрешность найденных параметров.

@Klinnia · 31.03.2013, 16:13 **[ТС]**

MOHCTP, погрешность не обязательно вычислять, главное - визуальное сходство. Спасибо большое! Пойду изучать

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@Klinnia 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2012 Сообщений: 23

	Апроксимация функции методом наименьших квадратов 27.03.2013, 22:39. Показов 2277. Ответов 8 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, с методом разобраться. Есть, предположим, таблично заданная функция. Есть её график. Но нужно найти ещё и апроксимирующую функцию, чтобы можно было узнать значения концентрации на разном расстоянии (задача по экологии). Пробовала интерполяцию сделать Ньютоном, но это оказалось совсем не то. А с МНК не могу разобраться. График "по точкам" Миниатюры Изображения 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	27.03.2013, 23:33
	Можно попробовать интерполяцию сплайнами. Или, учитывая, что зависимость далека от линейной, попробовать различные функциональные зависимости вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(L)=a{L}^{\nu }+b,\; C(L)=\frac{a}{L+b}$ для МНК. 0

@Klinnia 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2012 Сообщений: 23
	28.03.2013, 01:37 [ТС]
	А коэффициенты а и b вот так должны определяться? Изображения 0

@MOHCTP 294 / 206 / 2 Регистрация: 20.02.2011 Сообщений: 551
	28.03.2013, 11:21
	Сплайны должны прокатить, функция достаточно гладкая. Пытался подогнать под C(L) = C₀ + C₁exp(-kL), там существенная ошибка, превышающая точность данных многократно. А вот степенная зависимость, которую предложил Том Ардер, она подходит чуть получше. У меня получилось a = -6.3099, v = 0.3399, b = 59.97 (b не равно С(0), т.е. первая точка уходит в выброс!). Числа даны с избыточными цифрами, я признаю. Но все равно вычисления от точности данных отстают. Хотя, может, и сами эти данные тоже с избыточными цифрами? Приличный вариант получается, если фоновое значение брать не постоянным (b), а линейно меняющимся. Т.е подгоняем под функцию C(L) = aL^v + b + cL При a = -5.133, v = 0.4209, b = 59.90, с = 0.05594 соответствие очень пристойное, и первая точка на месте. 1

@Klinnia 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2012 Сообщений: 23
	28.03.2013, 18:51 [ТС]
	Подставила просто ваши цифры в многочлен, получила что-то хорошее, но я всё равно, если честно, не могу понять, как именно вы получили коэффициенты. Миниатюры 0

@MOHCTP 294 / 206 / 2 Регистрация: 20.02.2011 Сообщений: 551
	29.03.2013, 07:42
	Есть много программ, которые позволяют подбирать параметры зависимости. Я обычно использую Excel, пользуюсь надстройкой "Поиск решения". Как это примерно делается, я кратко написал в соседней теме. Эта штука весьма устойчивая и эффективная, поскольку сначала подбор идет симплекс-методом, а потом - по Ньютону-Рафсону. К сожалению, не выдается ковариационная матрица (которая все равно для Ньютона считается), и нельзя оценить погрешность найденных параметров. 1

@Klinnia 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.11.2012 Сообщений: 23
	31.03.2013, 16:13 [ТС]
	MOHCTP, погрешность не обязательно вычислять, главное - визуальное сходство. Спасибо большое! Пойду изучать 0