Достаточное условие экстремума

@triatri3 · Регистрация: 16.11.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Есть задача:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},{x}_{2})=3{{x}_{1}}^{2}-6{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$
На экзамене мне попалась, хочу для себя понять как её дорешать, вот что я прорешал:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{1}}=6{x}_{1}-6=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{2}}=2{x}_{2}-3=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=1; {x}_{2}=1.5$

Мне сказали что нужно ещё достаточное условие экстремума показать/доказать/прорешать.

П.с. я уже создавал тему с похожим смыслом (Нужно дорешать задачу. Необходимое и достаточное условие), там примерно то же стоило проделать, но здесь применить это не могу. Там Байт сказал что нужно найти вторую производную. Тут какую производную находить? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x1}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x1}}}$ ?

@jogano · 28.01.2019, 19:33

Немного теории. Функцию двух переменных вблизи какой-то точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ можно представить (приблизить) первыми тремя членами ряда Тейлора
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)\approx f_0+\left(f'_1dx_1+f'_2 dx_2 \right)+\left(f''_{11} dx_1^2+2f''_{12} dx_1dx_2 +f''_{22}dx_2^2\right)$ . Все частные производные берутся в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ . Раз вы ищете экстремум, то вблизи этой точки разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)- f_0$ должна иметь один и тот же знак для любых малых значений приращений dx₁ и dx₂. Если первые частные производные не нули одновременно в проверяемой точке, то подбором знаков приращений можно сделать сумму $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1dx_1+f'_2 dx_2$ любого знака, а нам нужен один знак. Значит, эта последняя сумма должна быть равна 0 для любых значений приращений, откуда следует необходимое условие экстремума $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1=f'_2=0$ . Тогда последняя скобка со вторыми частными производными должна иметь один и тот же знак, какие бы мы малые приращения аргументов ни взяли. Этот трёхчлен есть однородное выражение 2-го порядка по dx1 и dx2, и он имеет один знак так же, как и квадратный трёхчлен, если его дискриминант <0. При этом знак скобки определяется знаком старшего коэффициента, т.е. числа при dx₁². А дискриминант (делённый на 4) равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(f''_{12} \right)^2-f''_{11} \cdot f''_{22}$ . Но это выражение есть минус определитель такой матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}f''_{11} & f''_{12}\\ f''_{12} & f''_{22}\end{pmatrix}$ . Это матрица вторых производных данной функции. Отсюда следует достаточный критерий: если этот определитель >0 (в исследуемой точке, где первые производные равны 0), то экстремум есть, причём если если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}>0$ , то это минимум, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}<0$ , то максимум.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .
Модель микоризы: классовый агентный подход 3 anaschu 06.01.2026 aa0a7f55b50dd51c5ec569d2d10c54f6/ O1rJuneU_ls https:/ / vkvideo. ru/ video-115721503_456239114	Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ФедосеевПавел 06.01.2026 Owen Logic: О недопустимости использования связки «аналоговый ПИД» + RegKZR ВВЕДЕНИЕ Введу сокращения: аналоговый ПИД — ПИД регулятор с управляющим выходом в виде числа в диапазоне от 0% до. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход 2 anaschu 06.01.2026 репозиторий https:/ / github. com/ shumilovas/ fungi ветка по-частям. коммит Create переделка под биомассу. txt вход sc, но sm считается внутри мицелия. кстати, обьем тоже должен там считаться. . . .	Расчёт токов в цепи постоянного тока igorrr37 05.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с сопротивлениями и источниками (напряжения, ЭДС и тока). Найти токи и напряжения во всех элементах. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа и. . .

@triatri3 11 / 12 / 8 Регистрация: 16.11.2016 Сообщений: 892

	Достаточное условие экстремума 28.01.2019, 18:25. Показов 1749. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Есть задача: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},{x}_{2})=3{{x}_{1}}^{2}-6{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$ На экзамене мне попалась, хочу для себя понять как её дорешать, вот что я прорешал: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{1}}=6{x}_{1}-6=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{2}}=2{x}_{2}-3=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=1; {x}_{2}=1.5$ Мне сказали что нужно ещё достаточное условие экстремума показать/доказать/прорешать. П.с. я уже создавал тему с похожим смыслом (Нужно дорешать задачу. Необходимое и достаточное условие), там примерно то же стоило проделать, но здесь применить это не могу. Там Байт сказал что нужно найти вторую производную. Тут какую производную находить? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x1}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x1}}}$ ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	28.01.2019, 19:33
	Немного теории. Функцию двух переменных вблизи какой-то точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ можно представить (приблизить) первыми тремя членами ряда Тейлора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)\approx f_0+\left(f'_1dx_1+f'_2 dx_2 \right)+\left(f''_{11} dx_1^2+2f''_{12} dx_1dx_2 +f''_{22}dx_2^2\right)$ . Все частные производные берутся в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ . Раз вы ищете экстремум, то вблизи этой точки разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)- f_0$ должна иметь один и тот же знак для любых малых значений приращений dx₁ и dx₂. Если первые частные производные не нули одновременно в проверяемой точке, то подбором знаков приращений можно сделать сумму $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1dx_1+f'_2 dx_2$ любого знака, а нам нужен один знак. Значит, эта последняя сумма должна быть равна 0 для любых значений приращений, откуда следует необходимое условие экстремума $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1=f'_2=0$ . Тогда последняя скобка со вторыми частными производными должна иметь один и тот же знак, какие бы мы малые приращения аргументов ни взяли. Этот трёхчлен есть однородное выражение 2-го порядка по dx1 и dx2, и он имеет один знак так же, как и квадратный трёхчлен, если его дискриминант <0. При этом знак скобки определяется знаком старшего коэффициента, т.е. числа при dx₁². А дискриминант (делённый на 4) равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(f''_{12} \right)^2-f''_{11} \cdot f''_{22}$ . Но это выражение есть минус определитель такой матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}f''_{11} & f''_{12}\\ f''_{12} & f''_{22}\end{pmatrix}$ . Это матрица вторых производных данной функции. Отсюда следует достаточный критерий: если этот определитель >0 (в исследуемой точке, где первые производные равны 0), то экстремум есть, причём если если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}>0$ , то это минимум, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}<0$ , то максимум. 1