Достаточное условие экстремума

@triatri3 · Регистрация: 16.11.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Есть задача:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},{x}_{2})=3{{x}_{1}}^{2}-6{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$
На экзамене мне попалась, хочу для себя понять как её дорешать, вот что я прорешал:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{1}}=6{x}_{1}-6=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{2}}=2{x}_{2}-3=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=1; {x}_{2}=1.5$

Мне сказали что нужно ещё достаточное условие экстремума показать/доказать/прорешать.

П.с. я уже создавал тему с похожим смыслом (Нужно дорешать задачу. Необходимое и достаточное условие), там примерно то же стоило проделать, но здесь применить это не могу. Там Байт сказал что нужно найти вторую производную. Тут какую производную находить? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x1}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x1}}}$ ?

@jogano · 28.01.2019, 19:33

Немного теории. Функцию двух переменных вблизи какой-то точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ можно представить (приблизить) первыми тремя членами ряда Тейлора
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)\approx f_0+\left(f'_1dx_1+f'_2 dx_2 \right)+\left(f''_{11} dx_1^2+2f''_{12} dx_1dx_2 +f''_{22}dx_2^2\right)$ . Все частные производные берутся в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ . Раз вы ищете экстремум, то вблизи этой точки разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)- f_0$ должна иметь один и тот же знак для любых малых значений приращений dx₁ и dx₂. Если первые частные производные не нули одновременно в проверяемой точке, то подбором знаков приращений можно сделать сумму $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1dx_1+f'_2 dx_2$ любого знака, а нам нужен один знак. Значит, эта последняя сумма должна быть равна 0 для любых значений приращений, откуда следует необходимое условие экстремума $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1=f'_2=0$ . Тогда последняя скобка со вторыми частными производными должна иметь один и тот же знак, какие бы мы малые приращения аргументов ни взяли. Этот трёхчлен есть однородное выражение 2-го порядка по dx1 и dx2, и он имеет один знак так же, как и квадратный трёхчлен, если его дискриминант <0. При этом знак скобки определяется знаком старшего коэффициента, т.е. числа при dx₁². А дискриминант (делённый на 4) равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(f''_{12} \right)^2-f''_{11} \cdot f''_{22}$ . Но это выражение есть минус определитель такой матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}f''_{11} & f''_{12}\\ f''_{12} & f''_{22}\end{pmatrix}$ . Это матрица вторых производных данной функции. Отсюда следует достаточный критерий: если этот определитель >0 (в исследуемой точке, где первые производные равны 0), то экстремум есть, причём если если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}>0$ , то это минимум, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}<0$ , то максимум.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .
Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .

@triatri3 11 / 12 / 8 Регистрация: 16.11.2016 Сообщений: 892

	Достаточное условие экстремума 28.01.2019, 18:25. Показов 1764. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Есть задача: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({x}_{1},{x}_{2})=3{{x}_{1}}^{2}-6{x}_{1}+{{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$ На экзамене мне попалась, хочу для себя понять как её дорешать, вот что я прорешал: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{1}}=6{x}_{1}-6=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{df}{d{x}_{2}}=2{x}_{2}-3=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}=1; {x}_{2}=1.5$ Мне сказали что нужно ещё достаточное условие экстремума показать/доказать/прорешать. П.с. я уже создавал тему с похожим смыслом (Нужно дорешать задачу. Необходимое и достаточное условие), там примерно то же стоило проделать, но здесь применить это не могу. Там Байт сказал что нужно найти вторую производную. Тут какую производную находить? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x1,x1}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x2}}}$ ? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\acute{\acute{{f}_{x2,x1}}}$ ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	28.01.2019, 19:33
	Немного теории. Функцию двух переменных вблизи какой-то точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ можно представить (приблизить) первыми тремя членами ряда Тейлора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)\approx f_0+\left(f'_1dx_1+f'_2 dx_2 \right)+\left(f''_{11} dx_1^2+2f''_{12} dx_1dx_2 +f''_{22}dx_2^2\right)$ . Все частные производные берутся в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_{10};x_{20} \right)$ . Раз вы ищете экстремум, то вблизи этой точки разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(x_{10}+dx_1;x_{20}+dx_2 \right)- f_0$ должна иметь один и тот же знак для любых малых значений приращений dx₁ и dx₂. Если первые частные производные не нули одновременно в проверяемой точке, то подбором знаков приращений можно сделать сумму $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1dx_1+f'_2 dx_2$ любого знака, а нам нужен один знак. Значит, эта последняя сумма должна быть равна 0 для любых значений приращений, откуда следует необходимое условие экстремума $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f'_1=f'_2=0$ . Тогда последняя скобка со вторыми частными производными должна иметь один и тот же знак, какие бы мы малые приращения аргументов ни взяли. Этот трёхчлен есть однородное выражение 2-го порядка по dx1 и dx2, и он имеет один знак так же, как и квадратный трёхчлен, если его дискриминант <0. При этом знак скобки определяется знаком старшего коэффициента, т.е. числа при dx₁². А дискриминант (делённый на 4) равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(f''_{12} \right)^2-f''_{11} \cdot f''_{22}$ . Но это выражение есть минус определитель такой матрицы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}f''_{11} & f''_{12}\\ f''_{12} & f''_{22}\end{pmatrix}$ . Это матрица вторых производных данной функции. Отсюда следует достаточный критерий: если этот определитель >0 (в исследуемой точке, где первые производные равны 0), то экстремум есть, причём если если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}>0$ , то это минимум, а если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f''_{11}<0$ , то максимум. 1