@AntonioBonderas

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста с задачей:
Составить функцию Лагранжа и систему уравнений для нахождения условно-стационарных точек. Найти условно-стационарные точки и определить лучшую
f(x) = x1² - 2x2 + 3 min
4x1 - x2 1
x1+x2 2
Вот, я вроде бы сделал, но не уверен, что правильно. Можете проверить?
Шаг №1. Определение стационарных точек.
Найдем экстремум функции F(X) = x12-2*x2+3, используя функцию Лагранжа:
где F(X) - целевая функция вектора X
φi(X) - ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = x12-2*x2+3
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1(X) = 1-(4*x1-x2) = 0
φ2(X) = 2-(x1+x2) = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L(X, λ, μ) = x12-2*x2+3 - μ1*(1-(4*x1-x2)) - μ2*(2-(x1+x2))+μ3x1+μ4x2
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенным множителям
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2*x1+4*μ1+μ2 = 0
∂L/∂x2 = -μ1+μ2-2 = 0
μ1(1-(4*x1-x2)) = 0, μ1 ≥ 0
μ2(2-(x1+x2)) = 0, μ2 ≥ 0
μ3x1=0, μ3 ≥ 0
μ4x2=0, μ4 ≥ 0
Решим следующие подзадачи:
Подзадача №1
Решим следующую систему уравнений:
2*x1+4*μ1+μ2 = 0
-μ1+μ2-2 = 0
μ1(1-(4*x1-x2)) = 0, μ1 ≥ 0
Рассмотрим два варианта:
a) μ1 ≠ 0
Теперь необходимо подобрать такие μ, чтобы выполнялись все условия. Если подобрать такие значения невозможно, то решение не существует.
b) μ1 = 0
Теперь необходимо подобрать такие xj, чтобы выполнялись все условия. Если подобрать такие значения невозможно, то решение не существует.
Подзадача №2
Решим следующую систему уравнений:
2*x1+4*μ1+μ2 = 0
-μ1+μ2-2 = 0
μ2(2-(x1+x2)) = 0, μ2 ≥ 0
Рассмотрим два варианта:
a) μ2 ≠ 0
Теперь необходимо подобрать такие μ, чтобы выполнялись все условия. Если подобрать такие значения невозможно, то решение не существует.
b) μ2 = 0
Теперь необходимо подобрать такие xj, чтобы выполнялись все условия. Если подобрать такие значения невозможно, то решение не существует.
Шаг №2. Проверка условий Куна-Таккера.
Теорема Куна-Таккера. Чтобы найденный план X0 был решением задачи необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор μ0 такой, что пара (X0, μ0) для всех X ≥ 0 и μ ≥ 0.
L(X, μ0) ≤ L(X0, μ0) ≤ L(X0, μ)
Чтобы функция двух векторных переменных имела седловую точку, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Шаг №3. Определение вида экстремума.
Для функции L(x,λ, μ) находят матрицу Гессе HL. Если матрица HL положительно определена - найденная точка x является точкой минимума, если матрица HL отрицательно определена - найденная точка x является точкой максимума.

0