Вычислить длину дуги гладкой кривой

@Carbon4iik · Регистрация: 04.04.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Вычислить длину дуги s гладкой кривой y = f(x), содержащейся между двумя точками с абс-циссами x = a и x = b по формуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\int_{b}^{a}\sqrt{1+(y')^2}dx$
Интеграл вычисляется заданным численным методом с точностью Е*=10-5.

А вот мой вариант: Найти длину дуги кривой y = ex , содержащейся между точками [0;1] и [1;e] мето-дом парабол.

Как я понимаю это метод Симонса? (или я не прав?

Кто сможет написать прогу на паскале. Очень надо. Вроде бы там еще график надо в в екселе написать)

Кто напишет пишите сот в ЛС на телефон 100р кину

@Puporev · 04.04.2016, 14:55

Сообщение от Carbon4iik

на телефон 100р кину

Перенести тему в платный раздел? В тематических разделах оплата работы запрещена.

@Cyborg Drone · 05.04.2016, 02:37

Не по теме:

И ещё. Обсуждение вопросов в тематических разделах где-либо ещё, кроме самой темы, в том числе с использованием системы ЛС, запрещено. Рекомендую ВАм ознакомиться с правилами форума.

Замечание: в платном разделе Вы вряд ли ста рублями отделаетесь.

Что это у Вас за y = ex? Имеется ввиду y = e^x, что ли?

Сообщение от Carbon4iik

Вроде бы там еще график надо

Что значит "вроде бы"? Уточните задание. Мало того, что "вроде бы", так ещё и совершенно неясно, следует ли формировать экселевский файл из программы на паскале, или Вам требуется отдельно - программа, отдельно - график в экселе, возможно, с применением VBA.

@Carbon4iik · 05.04.2016, 10:53 **[ТС]**

Да,

Сообщение от Cyborg Drone

Что это у Вас за y = ex? Имеется ввиду y = e^x, что ли?

, верно!
Меня эксель не так сильно беспокоит как паскаль.
Вы спросили что бы помочь? Или просто потому что задание указал не верно?)
Мне просто надо что бы мне написали на паскале для моего варианта, дальше я уже сам что то сделаю.
Эксель там уже в пояснительной записке. Нам преподы составляют задания так что правильно фаги объяснишь.
Надеюсь поможете) Приложу фаил с заданием к ответу

(Вложение удалено)

@Puporev · 05.04.2016, 11:25

Первый раз слышу что длину дуги находят методами интегрирования, как площадь. Даже в инете не нашел ничего по такому делу.

@Carbon4iik · 06.04.2016, 11:21 **[ТС]**

Сообщение от Carbon4iik

А вот мой вариант: Найти длину дуги кривой y = e^x , содержащейся между точками [0;1] и [1;e] методом парабол.

Мне надо решить именно мой вариант а не задание сверху, задание сверху это как описание)

@Cyborg Drone · 07.04.2016, 02:08

Не по теме:

Сообщение от Carbon4iik

Вы спросили что бы помочь? Или просто потому что задание указал не верно?

Да, по этим двум причинам спросил.

Сообщение от Carbon4iik

задание сверху это как описание

Людей уважайте, они всё же не все телепаты. Вопрос должен быть точным, полным, то есть, таким, чтобы его не понял превратно любой необученный академик. А Вы эксель ещё приплели, ещё выразили полусомнение насчёт метода вычисления интеграла (бедный Томас Симпсон, видать, в гробу перевернулся, оттого, как Вы его обозвали), ещё и спросили: "кто сможет?". Правильный ответ на такой вопрос - все, кроме Вас. Да ещё и склоняете форумчан отнимать хлебушек у наших фрилансеров. Нехорошо это. Да ещё и файл с заданием выложили. Задания в виде фотографий и других файлов с текстом задания запрещены. Вы бы ещё учебник по математике сюда выложили. А всё потому, что правил так и не прочитали. Настоятельно рекомендую Вам прочитать правила форума. По какой причине Вы не последовали моей предыдущей рекомендации на этот счёт, я не постигаю. Вообще, что это я? Правила Вы имеете полное право и не читать, и не знать. Но вот выполнять их Вы обязаны. Поскольку Вы лично при регистрации на форуме обязались выполнять эти самые правила форума. Вот такой юридический казус.

Итак, Вам задали функцию - проще не придумаешь. Вычисляем первую производную:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y'=\left(e^x \right)'=e^x $

Следовательно, длина кривой, согласно Вашего задания, будет

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\int_0^1\sqrt{{1+e}^{2x}}\,\operatorname{d}x $

Обычно в подобных заданиях точность вычислений ошибочно оценивается как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}S_{2n}-S_n\end{vmatrix}<\varepsilon $

Такая оценка излишняя. Будем оценивать точность вычислений по правилу Рунге:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \Theta \begin{vmatrix}S_{2n}-S_n\end{vmatrix}<\varepsilon $

Для метода Симпсона Θ = 1/15. Окончательно

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{\begin{vmatrix}S_{2n}-S_n\end{vmatrix}}{15}<\varepsilon $

Пишем программу.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
function f(x: real): real;
begin
  f := sqrt(1 + sqr(exp(x)))
end;
 
const a = 0.0;
      b = 1.0;
      eps = 1e-5;
 
var n, i: integer;
    s1, s: real;
 
begin
  n := 2; {для параболы нужно 3 точки, значит, изначально интервал разбиваем на 2 части}
  s := (b - a) / 6 * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)); {формула Симпсона для разбиения интервала на 2 части}
  repeat
    s1 := s; {запоминаем предыдущее значение интеграла}
    n := 2 * n; {удваиваем количество частей в интервале}
    s := f(a) + f(b); {начальное значение интеграла}
    for i := 1 to n - 1 do
      if odd(i)
        then s := s + 4 * f(a + (b - a) * i / n)
        else s := s + 2 * f(a + (b - a) * i / n);
    s := s * (b - a) / 3 / n
  until abs(s - s1) / 15 <= eps;
  write('Curve length = ', s:0:6);
  readln
end.

Ну и ещё, так, для общего развития, дальше можете не читать.

На самом деле, для метода Симпсона существуют другие методы оценки погрешности вычисления. Например,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{b-a}{2880}\,h^4\max_{x\in [a,\,b]}\begin{vmatrix}f^{(4)}(x)\end{vmatrix}\ \leq \ \varepsilon $

где h - шаг по x, f⁽⁴⁾x - четвёртая производная подынтегрального выражения.

Так как h = (b - a) / N, получаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? N\geq \frac{\sqrt[4\,]{\frac{\frac{b-a}{2880}\max_{x\in [a,\,b]}\begin{vmatrix}f^{(4)}(x)\end{vmatrix}}{\varepsilon }}}{b-a} $

Четвёртая производная подынтегральной функции:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left(\sqrt{{1+e}^{2x}} \right)^{(4)}=\frac{\sqrt{e^{2x}+1}\cdot \left( e^{8x}+4e^{6x}-4e^{4x}+8e^{2x}\right)}{1+4e^{2x}+6e^{4x}+4e^{6x}+e^{8x}} $

Максимум четвёртой производной на интервале [0; 1] равен примерно 2.5937986660911003 (при x = 1). Тогда количество разбиений интервала интегрирования будет

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? N\geq \sqrt[4\,]{\frac{2.593798666}{2880\cdot 10^{-5}}}=3.080604 $

То есть, вполне достаточно разбиения интервала интегрирования на 4 части, и программа упрощается до

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
function f(x: real): real;
begin
  f := sqrt(1 + sqr(exp(x)))
end;
 
var i: integer;
    s: real;
 
begin
  s := f(0) + f(1); {начальное значение интеграла}
  for i := 1 to 3 do
    if odd(i)
      then s := s + 4 * f(i / 4)
      else s := s + 2 * f(i / 4);
  s := s / 12;
  write('Curve length = ', s:0:6);
  readln
end.

Вообще, это Ваше задание считаю глупейшим, поскольку данный определённый интеграл легко вычисляется аналитически:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \int_0^1\sqrt{{1+e}^{2x}}\,\operatorname{d}x=\left. \left( \sqrt{{1+e}^{2x}}+\frac{ln\left( \frac{1}{\sqrt{{1+e}^{2x}}}-1\right)}{2}-\frac{ln\left( \frac{1}{\sqrt{{1+e}^{2x}}}+1\right)}{2}\right)\right|_0^1\approx 2.00349711 $

Задали бы что-нибудь неберущееся, ну, хотя бы для того, чтобы и в самом деле требовалось нахождение интеграла с помощью численных методов...

@Carbon4iik · 17.04.2016, 16:51 **[ТС]**

Добавлено через 44 секунды
Cyborg Drone,А если я по прошу нарисовать график кривой F(x)в Exсel. Не сочтети ли вы это за наглость?)
Ото я не знаю откуда мне брать значения для графика, там же только e^x. Я думал что сам справлюсь, но н

@Cyborg Drone · 18.04.2016, 22:32

Нет, за наглость не сочту, просто эксель я не знаю совершенно. И ещё... Вам нужно f(x)=e^x, или всё же

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? f(x)=\int_0^x\sqrt{{1+e}^{2t}}\,\operatorname{d}t $

Что-то мне подсказывает, что вовсе не экспоненту Вам нужно в экселе рисовать, а что-то ещё. Например, зависимость длины кривой от интервала по x (последняя формула).

@Carbon4iik · 18.04.2016, 23:21 **[ТС]**

В том то и суть что все так не корректно указано. Ладно вы и там не помогли больше чем я рассчитывал)
Эксель либо сам до кумекаю, либо какую нибуть шляпу похожую скопирую)
Спасибо за все)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .

@Carbon4iik 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.04.2016 Сообщений: 17

	Вычислить длину дуги гладкой кривой 04.04.2016, 13:34. Показов 5479. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Вычислить длину дуги s гладкой кривой y = f(x), содержащейся между двумя точками с абс-циссами x = a и x = b по формуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\int_{b}^{a}\sqrt{1+(y')^2}dx$ Интеграл вычисляется заданным численным методом с точностью Е*=10-5. А вот мой вариант: Найти длину дуги кривой y = ex , содержащейся между точками [0;1] и [1;e] мето-дом парабол. Как я понимаю это метод Симонса? (или я не прав? Кто сможет написать прогу на паскале. Очень надо. Вроде бы там еще график надо в в екселе написать) Кто напишет пишите сот в ЛС на телефон 100р кину 0

@Puporev Почетный модератор 64314 / 47610 / 32743 Регистрация: 18.05.2008 Сообщений: 115,167
	05.04.2016, 11:25
	Первый раз слышу что длину дуги находят методами интегрирования, как площадь. Даже в инете не нашел ничего по такому делу. 1

@Carbon4iik 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.04.2016 Сообщений: 17
	17.04.2016, 16:51 [ТС]
	Добавлено через 44 секунды Cyborg Drone,А если я по прошу нарисовать график кривой F(x)в Exсel. Не сочтети ли вы это за наглость?) Ото я не знаю откуда мне брать значения для графика, там же только e^x. Я думал что сам справлюсь, но н 0

@Cyborg Drone Модератор 10423 / 5711 / 3402 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,371
	18.04.2016, 22:32
	Нет, за наглость не сочту, просто эксель я не знаю совершенно. И ещё... Вам нужно f(x)=e^x, или всё же $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x)=\int_0^x\sqrt{{1+e}^{2t}}\,\operatorname{d}t<br />$ Что-то мне подсказывает, что вовсе не экспоненту Вам нужно в экселе рисовать, а что-то ещё. Например, зависимость длины кривой от интервала по x (последняя формула). 0

@Carbon4iik 0 / 0 / 0 Регистрация: 04.04.2016 Сообщений: 17
	18.04.2016, 23:21 [ТС]
	В том то и суть что все так не корректно указано. Ладно вы и там не помогли больше чем я рассчитывал) Эксель либо сам до кумекаю, либо какую нибуть шляпу похожую скопирую) Спасибо за все) 0

Вычислить длину дуги гладкой кривой

Решение