Протабулировать функцию ln(x), заданную рядом Тейлора

@LeChate · Регистрация: 20.06.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Прошу помощи, сижу уже какой час ломаю голову над данным заданием. В программировании понимаю не многое..
Задание дали в моем вузе, по ИКТ
Вот само задание:
Разработать алгоритм с применением вложенных базовых структур «цикл
с предусловием» или «цикл с постусловием», составить и отладить соответствующую программу вычисления и вывода на экран в виде таблицы значений функции, заданной с помощью ряда Тейлора, на интервале от xнач до xкон с шагом dx с точностью ε. Таблицу снабдить заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента,
значение функции, количество просуммированных членов ряда и точное значение, вычисленное по формуле.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln\left(x \right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(x-1 \right)^{2n+1}}{\left(2n+1 \right)\left(x+1 \right)^{2n+1}}=2\left(\frac{x-1}{x+1}+\frac{\left(x-1 \right)^3}{3\left(x+1 \right)^3}+\frac{\left(x-1 \right)^5}{5\left(x+1 \right)^5}+\dots \right)\;,\;x \gt 0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1;2;0.2$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?10^{-4}$

@Пытливый · 20.06.2022, 13:19

Сообщение от LeChate

В программировании понимаю не многое..

Видимо While и Repeat не вошли в то немногое, почитайте о них. Но вообще, почему мы тут должны гадать, что именно вам в задании непонятно. Где конкретные вопросы?

@Cyborg Drone · 23.06.2022, 19:30

Это разновидность ряда Меркатора, предложенная Джеймсом Грегори.

Ряд знакоположительный. Проще всего для оценки остатка данного ряда применить признак сравнения.

Начнём.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\left. \sum_{n=0}^{\infty }\frac{2\left( \frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}}{2n+1}=\right|_{z:=\frac{x-1}{x+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{n+0.5}=\sum_{n=0}^{\infty}\!a_n $

Так как x > 0, то будет 0 < |z| < 1, и напрашивается сравнене Вашего ряда с рядом для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии с начальным членом b₀=z и знаменателем прогрессии q=z²:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? G=\sum_{n=0}^{\infty }\!z^{2n+1}=\sum_{n=0}^{\infty }\!b_n $

Каждый член ряда для суммы бесконечной геометрической прогрессии не меньше соответствующего члена Вашего ряда. Следовательно, и k-й остато ряда для суммы бесконечной геометрической прогрессии не меньше остатка Вашего ряда. Остаток ряда для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? R_G_k=\sum_{n=k}^{\infty }\!z^{2n+1}=\frac{b_k}{1-q}=\frac{z^{2k+1}}{1-z^2} $

Кроме того, так как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{n=k}^{\infty }\!z^{2n+1}\ >\ \sum_{n=k}^{\infty }\!\frac{z^{2n+1}}{k+0.5}\ >\ \sum_{n=k}^{\infty }\!\frac{z^{2n+1}}{n+0.5} $

можно несколько улучшить оценку остатка Вашего ряда. Получим следующий критерий окончания вычислений:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{z^{2k+1}}{(1-z^2)(k-0.5)}\ <\ \varepsilon $

В критерии присутствует k-й член Вашего ряда. Окончательно получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_k}{1-z^2}\ <\ \varepsilon $

Значение z=(x-1)/(x+1) будем вычислять до вхождения в соответствующий цикл. Для b_n=z²ⁿ⁺¹ будем применять очевидное рекуррентное соотношение.

Протабулировать функцию ln(x), заданную рядом Тейлора

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
const
  x_n = 1;
  x_k = 2;
  dx = 0.2;
  eps = 1E-4;
  hor = '+-----+--------------+----+--------------+';
var
  x, s, a, b, z: real;
  n: integer;
begin
  writeln('Таблица значений суммы ряда Тейлора');
  writeln('для функци ln(x) с точностью ', eps:0:4);
  writeln(hor);
  writeln('|  x  |       S      |  n |     ln(x)    |');
  writeln(hor);
  x := x_n;
  while x < x_k + dx / 2 do
    begin
      z := (x - 1) / (x + 1);
      s := 0;
      n := 0;
      b := z;
      a := b / 0.5;
      repeat
        s := s + a;
        inc(n);
        b := b * z * z;
        a := b / (n + 0.5)
      until abs(a / (1 - z * z)) < eps;
      writeln('| ', x:3:1, ' | ', s:12:10, ' | ', n:2, ' | ', ln(x):12:10, ' |');
      x := x + dx
    end;
  writeln(hor);
  readln
end.

Материал по теме:
Википедия - Ряд Меркатора
Википедия - Геометрическая прогрессия
Википедия - Признак сравнения

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Переходник USB-CAN-GPIO Eddy_Em 20.03.2026 Достаточно давно на работе возникла необходимость в переходнике CAN-USB с гальваноразвязкой, оный и был разработан. Однако, все меня терзала совесть, что аж 48-ногий МК используется так тупо: просто. . .	Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .
[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .