Протабулировать функцию ln(x), заданную в виде ряда Тейлора

@Vovchik0103 · Регистрация: 14.06.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Разработать алгоритм с применением вложенных базовых структур «цикл
с предусловием» или «цикл с постусловием», составить и отладить соответствующую про-
грамму вычисления и вывода на экран в виде таблицы значений функции, заданной с помо-
щью ряда Тейлора, на интервале от xнач до xкон с шагом dx с точностью ε. Таблицу снаб-
дить заголовком и шапкой. Каждая строка таблицы должна содержать значение аргумента,
значение функции, количество просуммированных членов ряда и точное значение, вычис-
ленное по формуле

Функция	x_нач, x_кон, dx	ε
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\ln x=2\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}=2\left( \frac{x-1}{x+1}+\frac{(x-1)^3}{3(x+1)^3}+\frac{(x-1)^5}{5(x+1)^5}+ ...\right),\ \ x > 0$	1; 2; 0.2	10^-4

@Puporev · 14.06.2018, 14:20

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
const xn=1.0;
      xk=2.0;
      dx=0.2;
      e=0.0001;
function f(x:real):real;
begin
f:=ln(x);
end;
var x,y,t,s:real;
    n:integer;
begin
//выводим шапку
writeln('Таблица значений функции y=ln(x)');
writeln('представленной разложением в ряд Тейлора');
writeln('на интервале [',xn:0:2,';',xk:0:2,'] с шагом ',dx:0:2,' с точностью ',e:0:5);
writeln('-------------------------------');
writeln('|  x  |  s(x)  |  n  |  f(x)  |');
writeln('-------------------------------');
//начнем с начала интервала
x:=xn;
while x<=xk do //пока не конец
 begin
  n:=0;//нулевой член ряда
  y:=(x-1)/(x+1);
  t:=y; //его значение
  s:=t; //первая сумма
  while abs(t)/(2*n+1)>e do//пока очередной член ряда больше точности
   begin
    n:=n+1;//увеличиваем n на 1
    t:=t*y*y; //умножаем предыдущий член на x^2
    s:=s+t/(2*n+1);//делим на очередное нечетное число и прибавляем к сумме
   end;
  s:=s*2;
  writeln('|',x:5:2,'|',s:8:4,'|',n+1:3,'  |',f(x):8:4,'|'); //выводим аргумент значение суммы
                                                             //число слагаемых  и аналитическое значение
  x:=x+dx;//увеличиваем х на 1 шаг
 end;
writeln('-------------------------------');
end.

@Cyborg Drone · 16.06.2018, 20:22

Vovchik0103, будте готовы к проблемам.

Ряд является знакоположительным, поэтому оценка остатка ряда по признаку Лейбница (которую применил Puporev) не является корректной. Это значит, что сумма ряда в большинстве случаев не будет вычислена с нужной точностью. Преподаватель запросто может задать вопрос: "а почему это сумма ряда не совпадает с точным значением с заданной точностью?".

Я воевал как-то с этим рядом. Попытка оценить остаток ряда по интегральному признаку Коши-Маклорена ни к чему не привела. Казалось бы, что может быть проще:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? r_n\leq \int_{n}^{\infty }\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}\operatorname{d}n $

Только вот при вычислении несобственного интеграла получается неувязочка:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left.\int_{n}^{\infty }\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}\operatorname{d}n=\frac{1}{2}\operatorname{Ei}\left((2n+1)\ln \frac{x-1}{x+1} \right) \right|_n^{\infty } $

То есть, для того, чтобы оценить погрешность суммы этого ряда Тейлора для ln(x), нужно вычислить ln((x-1)/(x+1))! Вот тут-то я и понял, что ряд просто издевается надо мною. Мало того, в первообразной вылезла интегральная показательная функция, которая не вычисляется аналитически, так ещё и ряд Тейлора для неё вот какой:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \operatorname{Ei}(z)=\operatorname{v.p.}\int_{-\infty }^{z}{\frac {e^t}{t}}\,\operatorname{d}t=\gamma +\ln |z|+\sum_{n\geq 1}{\frac{z^n}{n\cdot n!}},\ \ z\in \mathbb {R} $
где γ - постоянная Эйлера.

Тут уже стало ясно, что этот ряд не просто издевается, а прямо-таки цинично изгаляется!!!

Ну ладно, допустим, Ei(z) можно ещё как-то вычислить с применением, например, полиномов Чебышева, но, опять же, куда девать ln((x-1)/(x+1))?

Пробовал вычислять ряд из задания с точностью до машинного ε, тоже мало что хорошего вышло. Ошибка в вычислении суммы ряда получается значительно больше веса младшего разряда мантиссы машинного представления числа.

Я пришёл к выводу, что этот с виду красивый ряд для вычисления ln(x) не пригоден, и представляет чисто теоретический интерес.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

Протабулировать функцию ln(x), заданную в виде ряда Тейлора

Решение

Решение

@Cyborg Drone Модератор 10430 / 5718 / 3404 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,389
	16.06.2018, 20:22
	Сообщение было отмечено ФедосеевПавел как решение Решение Vovchik0103, будте готовы к проблемам. Ряд является знакоположительным, поэтому оценка остатка ряда по признаку Лейбница (которую применил Puporev) не является корректной. Это значит, что сумма ряда в большинстве случаев не будет вычислена с нужной точностью. Преподаватель запросто может задать вопрос: "а почему это сумма ряда не совпадает с точным значением с заданной точностью?". Я воевал как-то с этим рядом. Попытка оценить остаток ряда по интегральному признаку Коши-Маклорена ни к чему не привела. Казалось бы, что может быть проще: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> r_n\leq \int_{n}^{\infty }\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}\operatorname{d}n<br />$ Только вот при вычислении несобственного интеграла получается неувязочка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left.\int_{n}^{\infty }\frac{(x-1)^{2n+1}}{(2n+1)(x+1)^{2n+1}}\operatorname{d}n=\frac{1}{2}\operatorname{Ei}\left((2n+1)\ln \frac{x-1}{x+1} \right) \right\|_n^{\infty }<br />$ То есть, для того, чтобы оценить погрешность суммы этого ряда Тейлора для ln(x), нужно вычислить ln((x-1)/(x+1))! Вот тут-то я и понял, что ряд просто издевается надо мною. Мало того, в первообразной вылезла интегральная показательная функция, которая не вычисляется аналитически, так ещё и ряд Тейлора для неё вот какой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \operatorname{Ei}(z)=\operatorname{v.p.}\int_{-\infty }^{z}{\frac {e^t}{t}}\,\operatorname{d}t=\gamma +\ln \|z\|+\sum_{n\geq 1}{\frac{z^n}{n\cdot n!}},\ \ z\in \mathbb {R}<br />$ где γ - постоянная Эйлера. Тут уже стало ясно, что этот ряд не просто издевается, а прямо-таки цинично изгаляется!!! Ну ладно, допустим, Ei(z) можно ещё как-то вычислить с применением, например, полиномов Чебышева, но, опять же, куда девать ln((x-1)/(x+1))? Пробовал вычислять ряд из задания с точностью до машинного ε, тоже мало что хорошего вышло. Ошибка в вычислении суммы ряда получается значительно больше веса младшего разряда мантиссы машинного представления числа. Я пришёл к выводу, что этот с виду красивый ряд для вычисления ln(x) не пригоден, и представляет чисто теоретический интерес. 1