Вычисление определенного интеграла методом трапеций.

@trevor92 · Регистрация: 14.03.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Методом трапеций вычислить значение интеграла S = (cos (x)) на отрезке интегрирования [0; pi/2]. Считать заданным численный метод решения. Включить в программу вычисление точного значения интеграла. На печать вывести:
- кол-во отрезков разбиения интервала,
- приближенные значение интеграла, соответствующие количеству отрезков разбиения,
- точное значение интеграла,
- относительную погрешность вычисления.
Требуемая точность = 10^(-4)

Не совсем понимаю смысла точного значения интеграла. Может объяснить кто-нибудь что это?))) Ну.. точным значением будет 1, но как вычислить точное значение с помощью Pascal, я, если честно, не представляю. Поэтому вычислил как (sin (b) - sin (a)) (формула Ньютона-Лейбница). Относительная погрешность, это наверно разница между точным значением и полученным. Прошу как бы так сказать отрецензировать мою программу, внести может какие-нибудь корректировки.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
program TTT;
const
a = 0;
b = pi/2;
e = 0.0001;
 
var dx, x, y, integ : real;
    n : integer;
    
 function f(x: real): real;
begin
 f := cos (x);
end;
 
begin
integ := sin (b) - sin (a);
n := 1;
y := 0;
while integ - y > e do
  begin; 
  n := n + 1;
  dx := (b - a) / n;
  y := 0; 
  x := a + dx;
   while x < b do 
    begin 
    y := y + f(x);
    x := x + dx;
    end;
  y := (y + (f(a) + f(b)) / 2) * dx;
  end;
  
writeln ('Kolichestvo otrezkov razbieniya: ',n);
writeln ('Priblijennoe znachenie integrala: ',y:7:6);
writeln ('Tochnoe znachenie integrala : ',integ);
writeln ('Otnositelnaya pogreshnost vichislenya : ',(integ - y));
end.

17.10.2009, 13:32

Расчёт произведён 5-ю численными методами с помощью программы в режиме online http://www.integral-online.ru/ для определённого интеграла cos(x) (Math.cos(x))[0,pi/2], где pi/2 = 1.570796 с точностью:

e = 0.1

Метод прямоугольников 1.0949598911416216
Метод средних 1.0261721418882381
Метод трапеций 0.98711580634753
Метод Симпсона 1.0001345848610992
Метод 3/8 1.0000001433124937

e = 0.01

Метод прямоугольников 1.006123369992507
Метод средних 1.00160818841402
Метод трапеций 0.9967851732246289
Метод Симпсона 1.0001345848610992
Метод 3/8 1.0000001433124937

e = 0.001

Метод прямоугольников 1.0007667938923253
Метод средних 1.0001004058223493
Метод трапеций 0.9997991944035216
Метод Симпсона 1.0000082955169949
Метод 3/8 1.0000001433124937

e = 0.0001

Метод прямоугольников 1.000095870683987
Метод средних 1.0000251001324536
Метод трапеций 0.9999874501226949
Метод Симпсона 1.000000516684223
Метод 3/8 1.0000001433124937

e = 0.00001

Метод прямоугольников 1.0000059920972204
Метод средних 1.0000015687323875
Метод трапеций 0.9999968625365403
Метод Симпсона 1.000000516684223
Метод 3/8 1.00000000176797

e = 0.000001

Метод прямоугольников 1.0000007490133844
Метод средних 1.000000098045622
Метод трапеций 0.9999998039085988
Метод Симпсона 1.0000000322649207
Метод 3/8 1.00000000176797

@odip · 17.10.2009, 22:05

но как вычислить точное значение с помощью Pascal

Не точное значение, а значение с какой-то точностью !
Интеграл - это площадь фигуры соответствующей функции.
Вот разбираешь на отрезки ось OX, и считаешь площадь отрезков.
А вообще почитай чего-нибудь на тему численное вычисление интегралов.

@Том Ардер · 18.10.2009, 00:19

Путаница у тебя с погрешностями

И к точным значениям Паскаль не имеет никакого отношения.
В твоей задаче точное значение даётся конечным математическим выражением (здесь ты правильно взял первообразную - именно это)sin(pi/2)=1.
Численный метод даёт приближённое значение, точность которого нужно оценить. Если известно точное значение (f) и приближённое (fapp), то абсолютная погрешность abserr = abs(f - fapp), относительная погрешность relerr = abs((f - fapp)/f).
На практике точное значение известно далеко не всегда, поэтому вычисляют приближённое значение разными способами и сравнивают результаты.
Применительно к твоей задаче: вычислить интеграл при числе разбиений интервала n1, (значение f1), и числе разбиений интервала n2 > n1, (значение f2). Если relerr = abs((f1 - f2)/f1) окажется больше заданного eps, то повторить вычисление с числом разбиений интервала n3 > n2, получив значение f3). Сравнить f2) и f3) и т.д., пока не достигнем требуемой точности. Для метода трапеций удобно выбирать n2 = 2*n1, n3 = 2*n2, ... В этом случае на каждом шаге можно использовать все ранее вычисленные значения подынтегральной функции, т.е. ускорение алгоритма вдвое.
Рекомендую: Хемминг "Численные методы", Мак****** "Численные методы и программирование на Фортране" (суть не в языке, а в методах). И ещё много других - ищи в библиотеках.
Успехов!

Добавлено через 15 минут
Ещё: поищи "Numerical Recipes" (в виде pdf файлов) - там и численные методы, и тексты программ (С, Фортран).

@Puporev · 18.10.2009, 09:41

Сообщение от trevor92

Включить в программу вычисление точного значения интеграла.

Глупое условие, следовало написать аналитическое значение, а в остальном +10 Том Ардер,
Люди, прежде чем писать программу, касающуюся математики, прочитайте информацию , если не знаете, по этой теме.

@MontiK · 10.05.2011, 22:59

Сообщение от odip

Не точное значение, а значение с какой-то точностью !

А как можно эту точность объявить в программе? Например, точность равна 0.001 а мне нужно посчитать этот интеграл с этой точностью...

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .

I-O
	17.10.2009, 13:32
	Расчёт произведён 5-ю численными методами с помощью программы в режиме online http://www.integral-online.ru/ для определённого интеграла cos(x) (Math.cos(x))[0,pi/2], где pi/2 = 1.570796 с точностью: e = 0.1 Метод прямоугольников 1.0949598911416216 Метод средних 1.0261721418882381 Метод трапеций 0.98711580634753 Метод Симпсона 1.0001345848610992 Метод 3/8 1.0000001433124937 e = 0.01 Метод прямоугольников 1.006123369992507 Метод средних 1.00160818841402 Метод трапеций 0.9967851732246289 Метод Симпсона 1.0001345848610992 Метод 3/8 1.0000001433124937 e = 0.001 Метод прямоугольников 1.0007667938923253 Метод средних 1.0001004058223493 Метод трапеций 0.9997991944035216 Метод Симпсона 1.0000082955169949 Метод 3/8 1.0000001433124937 e = 0.0001 Метод прямоугольников 1.000095870683987 Метод средних 1.0000251001324536 Метод трапеций 0.9999874501226949 Метод Симпсона 1.000000516684223 Метод 3/8 1.0000001433124937 e = 0.00001 Метод прямоугольников 1.0000059920972204 Метод средних 1.0000015687323875 Метод трапеций 0.9999968625365403 Метод Симпсона 1.000000516684223 Метод 3/8 1.00000000176797 e = 0.000001 Метод прямоугольников 1.0000007490133844 Метод средних 1.000000098045622 Метод трапеций 0.9999998039085988 Метод Симпсона 1.0000000322649207 Метод 3/8 1.00000000176797

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	18.10.2009, 00:19
	Путаница у тебя с погрешностями И к точным значениям Паскаль не имеет никакого отношения. В твоей задаче точное значение даётся конечным математическим выражением (здесь ты правильно взял первообразную - именно это)sin(pi/2)=1. Численный метод даёт приближённое значение, точность которого нужно оценить. Если известно точное значение (f) и приближённое (fapp), то абсолютная погрешность abserr = abs(f - fapp), относительная погрешность relerr = abs((f - fapp)/f). На практике точное значение известно далеко не всегда, поэтому вычисляют приближённое значение разными способами и сравнивают результаты. Применительно к твоей задаче: вычислить интеграл при числе разбиений интервала n1, (значение f1), и числе разбиений интервала n2 > n1, (значение f2). Если relerr = abs((f1 - f2)/f1) окажется больше заданного eps, то повторить вычисление с числом разбиений интервала n3 > n2, получив значение f3). Сравнить f2) и f3) и т.д., пока не достигнем требуемой точности. Для метода трапеций удобно выбирать n2 = 2n1, n3 = 2n2, ... В этом случае на каждом шаге можно использовать все ранее вычисленные значения подынтегральной функции, т.е. ускорение алгоритма вдвое. Рекомендую: Хемминг "Численные методы", Мак**** "Численные методы и программирование на Фортране" (суть не в языке, а в методах). И ещё много других - ищи в библиотеках. Успехов! Добавлено через 15 минут Ещё: поищи "Numerical Recipes" (в виде pdf файлов) - там и численные методы, и тексты программ (С, Фортран). 2