Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью

@d31m03 · Регистрация: 24.11.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброй ночи, народ) помогите с кодом пожалуйсста:
3. Вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью e=10^-4:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...\,, $

и значение функции (для проверки):

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y=\frac{\ln x}2\,, $

учесть, что 0.2 ≤ x ≤ 1.

@JokeR.BY · 25.12.2015, 17:08

перепроверьте ряд. и функцию перепишите в однозначный вид

@Cyborg Drone · 02.01.2016, 15:10

Опечатка в первом члене ряда исправлена. Формула исправлена, разночтения исключены. d31m03, не полагайтесь на то, что всем очевидно, что Вы написали, либо на то, что кому-либо захочется выяснять, как оно должно выглядеть на самом деле, этим Вы весьма уменьшаете вероятность получения ответа.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1}=\right|_{z=\frac{x-1}{x+1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty a_n $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_1=z;\ a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1};\ a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n=\right|_{n:=n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n $

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
const e = 1e-4;
 
var n: integer;
    x, z, a, s: extended;
 
begin
  repeat
    write('x in [0.2..1];  x = ');
    readln(x)
  until (x >= 0.2) and (x <= 1);
  z := (x - 1) / (x + 1);
  a := z;
  s := a;
  n := 0;
  while abs(a) >= e do
    begin
      inc(n);
      a := z * z * a * (n - 0.5) / (n + 0.5);
      s := s + a
    end;
  writeln('        S = ', s:0:4, ', precision = ', e:0:4);
  write  ('ln(x) / 2 = ', ln(x) / 2:0:15);
  readln
end.

@d31m03 · 09.01.2016, 01:44 **[ТС]**

спасибо большое, я просто не сразу разобрался с редактором формул)
Спасибо за код, но что за превращения формул в начале вы описали? Можно немного рассказть об этом? Буду благодарен

@Cyborg Drone · 09.01.2016, 21:50

Внимание! Опечатка. Должно быть a₀=z, а не a₁=z.

Сначала представим Вашу сумму в виде ряда:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1} $

Переменная x от номера члена ряда n никак не зависит. Поэтому можно заранее вычислить то, что зависит от x. Обозначим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? z=\frac{x-1}{x+1} $

Получим ряд

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1} $

Обозначим общий член ряда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=a_n $

Подставляя n=0 в общий член ряда, получим нулевой член ряда.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_0=z $

Формула общего члена ряда известна:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1} $

Найдём реекуррентное соотношение (проще говоря, найдём, каким образом можно каждый последующий член вычислить на основе предыдущего). Обычно находят коэффициент, на который нужно умножить предыдущий член, для того, чтобы получить последующий, путём деления последующего члена на предыдущий. В большинстве случаев можно обойтись без этого громоздкого деления, а просто выразить последующий член через предыдущий. Для этого в общий член ряда подставляем n+1:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n $

Пробуем привести к a_n: Перепишем z²ⁿ⁺³=z²z²ⁿ⁺¹, домножим числитель и знаменатель на 2n+1. В составе получившейся формулы будет формула для a_n. Заменяем это дело на a_n, и всё... Рекуррентная формула готова. Ну ладно, чтобы уменьшить опасность целочисленного переполнения, избавимся от 2n, сократив дробь на 2. Можно на этом и остановиться. Но... (n+0.5), (n+1.5)... Некрасиво как-то. Чисто из любви к искусству, представим, что члены ряда считаются от 1, а не от 0... То есть, пусть будет n:=n+1. Для этого инкремент n будем производить перед вычислением очередного члена ряда, а не после. Так как n стало больше на 1, в формуле вместо n придётся использовать n-1, чтобы значение выражения осталось тем же самым. Окончательная рекурренная формула:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_{n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n $

Собственно, всё. Далее пишем программу.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью

Решение

Решение

@d31m03 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 18

	Циклы: вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью 24.12.2015, 02:25. Показов 3033. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Доброй ночи, народ) помогите с кодом пожалуйсста: 3. Вычислить значение суммы бесконечного ряда с заданной точностью e=10^-4: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...\,,<br />$ и значение функции (для проверки): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> y=\frac{\ln x}2\,,<br />$ учесть, что 0.2 ≤ x ≤ 1. 0

@JokeR.BY CAPITAL OF ROCK! 1281 / 708 / 982 Регистрация: 03.03.2010 Сообщений: 2,286
	25.12.2015, 17:08
	перепроверьте ряд. и функцию перепишите в однозначный вид 0

@d31m03 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 18
	09.01.2016, 01:44 [ТС]
	спасибо большое, я просто не сразу разобрался с редактором формул) Спасибо за код, но что за превращения формул в начале вы описали? Можно немного рассказть об этом? Буду благодарен 0

@Cyborg Drone Модератор 10451 / 5746 / 3409 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,480
	09.01.2016, 21:50
	Сообщение было отмечено Памирыч как решение Решение Внимание! Опечатка. Должно быть a₀=z, а не a₁=z. Сначала представим Вашу сумму в виде ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac 13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+...+\frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}+...=\left. \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^{2n+1}<br />$ Переменная x от номера члена ряда n никак не зависит. Поэтому можно заранее вычислить то, что зависит от x. Обозначим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> z=\frac{x-1}{x+1}<br />$ Получим ряд $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> S=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1}<br />$ Обозначим общий член ряда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \frac{z^{2n+1}}{2n+1}=a_n<br />$ Подставляя n=0 в общий член ряда, получим нулевой член ряда. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_0=z<br />$ Формула общего члена ряда известна: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_n=\frac{z^{2n+1}}{2n+1}<br />$ Найдём реекуррентное соотношение (проще говоря, найдём, каким образом можно каждый последующий член вычислить на основе предыдущего). Обычно находят коэффициент, на который нужно умножить предыдущий член, для того, чтобы получить последующий, путём деления последующего члена на предыдущий. В большинстве случаев можно обойтись без этого громоздкого деления, а просто выразить последующий член через предыдущий. Для этого в общий член ряда подставляем n+1: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_{n+1}=\frac{z^{2n+3}}{2n+3}=\frac{z^2(2n+1)}{2n+3}\,a_n=\left. \frac{z^2(n+0.5)}{n+1.5}\,a_n<br />$ Пробуем привести к a_n: Перепишем z²ⁿ⁺³=z²z²ⁿ⁺¹, домножим числитель и знаменатель на 2n+1. В составе получившейся формулы будет формула для a_n. Заменяем это дело на a_n, и всё... Рекуррентная формула готова. Ну ладно, чтобы уменьшить опасность целочисленного переполнения, избавимся от 2n, сократив дробь на 2. Можно на этом и остановиться. Но... (n+0.5), (n+1.5)... Некрасиво как-то. Чисто из любви к искусству, представим, что члены ряда считаются от 1, а не от 0... То есть, пусть будет n:=n+1. Для этого инкремент n будем производить перед вычислением очередного члена ряда, а не после. Так как n стало больше на 1, в формуле вместо n придётся использовать n-1, чтобы значение выражения осталось тем же самым. Окончательная рекурренная формула: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> a_{n+1}=\frac{z^2(n-0.5)}{n+0.5}\,a_n<br />$ Собственно, всё. Далее пишем программу. 0