Интерполяционный многочлен Лагранжа в Python

@kham · Регистрация: 14.05.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день! Надеюсь , смогу найти здесь помощь и поддержку. Ситуация в следующем, учусь на втором курсе мехмата НГУ. По курсу "Численные методы", выдали задания(прикрепил фото задания). Писать можно на чем угодно-я выбрал Python. Задание состоит в построении графика интерполируемой и интерполирующей функции. Дали функцию sin(x)*(0.25)+100, интервал от 50 до 60-ти, количество узлов 15. Сделал работающую программу(которая собственно выполняет все требуемые функции):

Кликните здесь для просмотра всего текста

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
 
x  = [50,60] 
a = 0
while a < 13 :
    random_number = random.uniform(0, 10) + 50
    while random_number in x : 
        random_number = random.uniform(0, 10) + 50
    x.append(random_number)
    a = a + 1
    x.sort()
print(x)
 
 
 
for k in range(len(x)):
    y=np.sin(x)*(0.25)+100
   
def poly(x, y, t):
    z = 0
    for i in phi():
        c1 = 1
        c2 = 1
        for j in range(len(x)):
            if i == j:
                c1 = c1 * 1
                c2 = c2 * 1
            else:
                c1 = c1 * (t - x[j])
                c2 = c2 * (x[i] - x[j])
        z = z + y[i] * c1 / c2
    return z
 
 
xnew = np.linspace(np.min(x), np.max(x), 100)
ynew = [poly(x, y, j) for j in xnew]
plt.plot(x,y)
plt.plot(x,y,'o',xnew,ynew)
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь почему я собственно пишу сюда, препод программу не принял- сказал напишите подпрограмму которая бы вычисляла фи от икс, то есть значение функции в узлах. Я ему показываю, так вот же она:

Python
1
2
for k in range(len(x)):
    y=np.sin(x)*(0.25)+100

На что он мне отвечает:"Нет! Это не подпрограмма!" и просто ушел(препод своеобразный, ничего практически не объясняет). Поспрашивал у одногруппников, они мне сказали что наверное нужно определить функцию фи от икс, как я это сделал с полиномом, то есть типа def phi(x,y) и т д. Но проблема в том, что питон(да и вообще программирование) начал изучать в августе, начал пробовать, исправив строку на:

Python
1
2
3
4
def phi(x,y):
    for k in range(len(x)):
        y=np.sin(x)*(0.25)+100
    return k

В результате ничего не работает. Прошу Вас помочь, как реализовать правильно данную программу? Заранее спасибо!

@jogano · 27.09.2017, 14:52

Перенаправил тему в раздел Python, так как ваша проблема не в математике, а в программной реализации.

@dondublon · 28.09.2017, 12:02

Как-то так:

Python
1
2
def phi(x):
    return sin(x)*(0.25)+100

Добавлено через 26 секунд
И её уже вызывать в цикле.

@kham · 28.09.2017, 14:34 **[ТС]**

Сообщение от dondublon

Как-то так:
PythonВыделить код
1
2
def phi(x):
* * return sin(x)*(0.25)+100
Добавлено через 26 секунд
И её уже вызывать в цикле.
__________________

Не совсем понял( Не могли бы Вы подробнее расписать пожалуйста? Как уже говорил в программировании недавно, поэтому не все на лету схватываю. Заранее спасибо

@dondublon · 28.09.2017, 14:38

А что тут особо расписывать? Вам надо

Сообщение от kham

подпрограмму которая бы вычисляла фи от икс

вот она и есть. Правда, "подпрограмма" - это из лексикона эпохи, когда говорили "ЭВМ" и "дисплей", сейчас это назвывают функцией.

@kham · 28.09.2017, 16:55 **[ТС]**

Сообщение от dondublon

И её уже вызывать в цикле.

Именно вот это не понятно. После добавления и использования ее в цикле должно получиться вот так? или иначе?

Python
1
2
3
4
5
def phi(x,y):
    return np.sin(x)*(0,25)+100
 
for k in range(len(x)):
y=phi(x,y)

Опять таки простите за мое невежество, повторюсь программировать начал недавно(

@dondublon · 28.09.2017, 18:03

Невежство у вас серьёзное.
Вы понимаете разницу между аргументом функции и возвращаемым значением?
x - аргумент, y должен возвращаться, но тут он тоже записан, как аргумент:

Python
1
def phi(x,y):

В строке 5 необходим отступ, в питоне работают отступы.

Да, я неточно сказал: если вы используете массивы numpy, то цикл вам не нужен:

Python
1
2
3
4
def phi(x):
    return np.sin(x)*(0,25)+100
 
y = phi(x)

где x и y - numpy-массивы.

Если же всё-таки писать цикл, то такая запись:

Python
1
2
for k in range(len(x)):
y=phi(x,y)

Смысла не имеет, т. к. вы многократно перезаписываете переменную y. Если писать с циклом, то так:

Python
1
y = [phi(x0) for x0 in x]

На выходе получите список. Но это если не использовать numpy, вам общего развития.

@kham · 29.09.2017, 07:48 **[ТС]**

Сообщение от dondublon

Невежство у вас серьёзное.

Знаю(Стараюсь быть лучше.

Python
1
2
def phi(x):
* * return np.sin(x)*(0,25)+100

Написал так как Вы написали(то что расположено выше), в ответ он выдает такую ошибку:

Traceback (most recent call last):
File "l.py", line 23, in <module>
y=phi(x)
File "l.py", line 22, in phi
return np.sin(x)*(0,25)+100
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (15,) (2,)

Извините опять за то что не понял и за трату Вашего времени( Заранее спасибо

@dondublon · 29.09.2017, 09:11

kham, сорри, там точка должна быть, а не запятая. (Сам не знаю, как так получилось.)

@kham · 29.09.2017, 13:09 **[ТС]**

Спасибо огромное! Все работает

@kham · 02.10.2017, 05:33 **[ТС]**

Показал сегодня. Подпрограмму принял. Только не устраивает то, что phi(x) кусочно линейная, а не как синусоида. Что можно сделать? Можно ли каким-нибудь образом ее сгладить? Заранее спасибо

@dondublon · 02.10.2017, 09:36

kham, не должно такого быть.

@kham · 02.10.2017, 15:07 **[ТС]**

Сообщение от dondublon

kham, не должно такого быть

Разобрался с этим. Необходимо теперь построить график кусочно линейной функции, то есть построить полином первой степени по узлам и по значениям y. Я так понимаю это делается с помощью решения системы линейных уравнений y[i]=a*x[i]+b? Больше нету способов интерполирования для полинома первой степени? Заранее спасибо

@dondublon · 02.10.2017, 15:59

(tired)
Ничего не понимаю.
Так график построить или функцию придумать?

Что значит "интерполировние полинома"? Фраза подразумевает, что полином у вас есть и его надо проинтерполировать.
Говорите грамотно.

@kham · 03.10.2017, 10:30 **[ТС]**

Извините за недопонимание) необходимо построить полином первой степени по узлам и значениям y, и изобразить его график

@dondublon · 03.10.2017, 10:43

kham, окей.
Я не помню, что такое интерполяционный многочлен Лагранжа, но могу заявить со стопудовой уверенностью: у полинома первой степени (то бишь линейной функции) ровно две степени свободы. То есть им вы можете проинтерполировать только две точки, не больше. Интерполяционный многочлен Лагранжа в общем случае никак не может быть первой степени. Для n точек вам нужно столько же степеней свободы, и степень многочлена у вас должна быть n-1.

По поводу рисования графика - проще всего воспользоваться библиотекой matplotlib.

@kham · 03.10.2017, 12:54 **[ТС]**

Сообщение от dondublon

Интерполяционный многочлен Лагранжа в общем случае никак не может быть первой степени.

Это я понимаю. Речь же не идет о том чтобы построить интерполяционный многочлен Лагранжа(с этим уже справился).

А необходимо построить линейную функцию y=Ax+b, которая бы в узлах, принимала значения икриков. Поэтому и спрашиваю как лучше это сделать.

@dondublon · 03.10.2017, 13:10

Сообщение от kham

А необходимо построить линейную функцию y=Ax+b, которая бы в узлах, принимала значения икриков.

(игреков)
Узлов больше двух? Они не на одной прямой? Тогда одну прямую вы через них никак не проведёте

@kham · 03.10.2017, 13:28 **[ТС]**

Так мне и не нужна прямая)
Необходимо построить полином первой степени на промежутках [x(i), x(i+1)], в данном случае узлов 15 ,принимают значения от 50 до 60. А графиком должна быть кусочно-линейная функция.

Снова извините за недопонимание и за то что предоставил недостаточно информации)

@dondublon · 03.10.2017, 13:40

А, ясно. Ну, прямую между двумя точками провести куда проще, чем построить многочлен Лагранжа

Ведь это же простейший частный случай.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	27.09.2017, 14:52
	Перенаправил тему в раздел Python, так как ваша проблема не в математике, а в программной реализации. 0

@dondublon 4648 / 2068 / 366 Регистрация: 17.03.2012 Сообщений: 10,168 Записей в блоге: 6
	29.09.2017, 09:11
	kham, сорри, там точка должна быть, а не запятая. (Сам не знаю, как так получилось.) 0

@kham 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.05.2016 Сообщений: 32
	29.09.2017, 13:09 [ТС]
	Спасибо огромное! Все работает 0

@kham 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.05.2016 Сообщений: 32
	02.10.2017, 05:33 [ТС]
	Показал сегодня. Подпрограмму принял. Только не устраивает то, что phi(x) кусочно линейная, а не как синусоида. Что можно сделать? Можно ли каким-нибудь образом ее сгладить? Заранее спасибо 0

@dondublon 4648 / 2068 / 366 Регистрация: 17.03.2012 Сообщений: 10,168 Записей в блоге: 6
	02.10.2017, 09:36
	kham, не должно такого быть. 0

@dondublon 4648 / 2068 / 366 Регистрация: 17.03.2012 Сообщений: 10,168 Записей в блоге: 6
	02.10.2017, 15:59
	(tired) Ничего не понимаю. Так график построить или функцию придумать? Что значит "интерполировние полинома"? Фраза подразумевает, что полином у вас есть и его надо проинтерполировать. Говорите грамотно. 2

@kham 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.05.2016 Сообщений: 32
	03.10.2017, 10:30 [ТС]
	Извините за недопонимание) необходимо построить полином первой степени по узлам и значениям y, и изобразить его график 0

@dondublon 4648 / 2068 / 366 Регистрация: 17.03.2012 Сообщений: 10,168 Записей в блоге: 6
	03.10.2017, 10:43
	kham, окей. Я не помню, что такое интерполяционный многочлен Лагранжа, но могу заявить со стопудовой уверенностью: у полинома первой степени (то бишь линейной функции) ровно две степени свободы. То есть им вы можете проинтерполировать только две точки, не больше. Интерполяционный многочлен Лагранжа в общем случае никак не может быть первой степени. Для n точек вам нужно столько же степеней свободы, и степень многочлена у вас должна быть n-1. По поводу рисования графика - проще всего воспользоваться библиотекой matplotlib. 0

@kham 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.05.2016 Сообщений: 32
	03.10.2017, 13:28 [ТС]
	Так мне и не нужна прямая) Необходимо построить полином первой степени на промежутках [x(i), x(i+1)], в данном случае узлов 15 ,принимают значения от 50 до 60. А графиком должна быть кусочно-линейная функция. Снова извините за недопонимание и за то что предоставил недостаточно информации) 0

@dondublon 4648 / 2068 / 366 Регистрация: 17.03.2012 Сообщений: 10,168 Записей в блоге: 6
	03.10.2017, 13:40
	А, ясно. Ну, прямую между двумя точками провести куда проще, чем построить многочлен Лагранжа Ведь это же простейший частный случай. 0