Кривая пересечения поверхностей второго порядка

Добрый день! Есть задача построить кривую пересечения двух произвольных поверхностей второго порядка, заданных параметрически. Случаи касания и пересечения по нескольким кривым не рассматриваю (пока что). Для примера взял две сферы. Какого-то общепринятого алгоритма нагуглить не удалось, решил делать в лоб. Проблема: есть три уравнения, 4 неизвестных. Как посоветуете это решить?

С клиента приходят строки x1(u, v), y1(u, v), z1(u, v), x2(a, b), y2(a, b), z2(a, b). Распарсиваю их с помощью , соответственно делать с ними могу все, что угодно.

Мои попытки:
Сделать одну из неизвестных "параметром" и решать много систем. Тут такая проблема: символьно с помощью решается очень долго, численные вещи вроде уходят не туда, куда нужно.

У меня еще есть ограничения на каждый параметр (например, у сфер один угол в отрезке , второй в ). Есть ли какой-то решатель, куда можно просто в лоб передать 3 уравнения и все ограничения на параметры и он вернет мне все корни? Перепробовал почти все, ничего хорошего не нашел. Или, может, кто-то владеет тайным знанием устойчивого универсального алгоритма для этой цели. Спасибо!

0

Сообщение от kolya_levch Есть задача построить кривую пересечения двух произвольных поверхностей второго порядка

Когда-то решал подобную задачу для случая произвольных поверхностей, но не на питоне.
Наиболее устойчивый алгоритм, сводился к решению методом Эйлера дифференциального уравнения.
Касательный вектор к кривой пересечения ортогонален нормалям обоих поверхностей в каждой точке, следовательно производная кривой - есть просто нормализованное векторное произведение нормалей поверхностей. В результате решения этого уравнения получался набор точек с некоторым шагом. Чтобы решить дифференциальное уравнения нужна начальная точка, ее получение тоже проблема - я, по-моему, искал пересечение одной поверхности с изолинией другой.
В общем и целом задача непростая.

Сообщение от kolya_levch Какого-то общепринятого алгоритма нагуглить не удалось, решил делать в лоб.

Плохо искали, алгоритмов полно. То что, я описал выше, я вычитал в какой-то статье с конференции по компьютерной графике.

Добавлено через 12 минут
Мною описанный алгоритм, только для пересечения. Для случаев касания он работать не будет.

0

Сообщение от kolya_levch Какого-то общепринятого алгоритма нагуглить не удалось, решил делать в лоб.

Общепринятого алгоритма чего, двух произвольных поверхностей или двух сфер?
Поверхностей вы и не найдёте. Со сферами должно быть проще, система квадратных уравнений.

Сообщение от kolya_levch Проблема: есть три уравнения, 4 неизвестных. Как посоветуете это решить?

А что вы хотите получить? Ну, предположим, было бы у вас 4 уравнения, вы нашли бы фиксированные значения "неизвестных". Что это значит в геометрическом смысле? Это максимум точка. (А по минимуму - пустое множество, xyz от этих параметров не сойдутся.) Вам нужна точка?
Нет, вам нужна кривая. Кривая задаётся одним параметром.
То есть всё правильно, сходится. Четыре параметра (а не "неизвестных") связаны тремя уравнениями. Одна степерь свободы остаётся. Получается кривая (1d). Меняете параметр - двигаетесь по вашей кривой пересечения.

Как решать - вопрос, да. Зависит от универсальности вашей программы. Если две сферы - так можно и вручную, через геометрию.

0

dondublon, так, а можно поподробнее?
Вот я решил систему из трех уравнений, решение - какие-то функции u(b), v(b), a(b), другими словами я просто все перевыразил через один из четырех параметров (в данном случае через b). И где уравнение кривой? Я что-то туплю, простите.

0

u=u(b), v=v(b), a=a(b), x=x1(u, v)=x1(u(b), v(b)), y и z по аналогии. Параметрическое уравнение кривой.
Если правильно решили, то x1 будет =x2 и остальные координаты тоже.

0

dondublon, спасибо!

0