Задача про амёбу

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как решить следующую задачу.

Имеем промежуток времени за который амёба может умереть с веротяностью 0.25, выжить с вероятностью 0.25 и разделиться на две с вероятностью 0.5. В следующий промежуток времени с каждой амёбой происходит то же самое. Сколько амёб и с какой вероятностью через два промежутка времени, если перед этим было n амёб?

Единственное что приходит на ум, так это рассмотреть сначала всех n амёб и для каждой выполнить выживание, смерть и разделение на две, потом для полученных результатов сделать в каждом случае всё то же самое. Но это очень уж громоздко. Есть ли другое решение?

zer0mail · 12.11.2017, 22:01

Для начала разберитесь с 1 амебой и заодно с условием. Нет простой формулы для распределения количества амеб при произвольном n.

@oobarbazanoo · 13.11.2017, 13:24 **[ТС]**

zer0mail, если у нас одна амёба, то через два промежутка времени будут такие вероятности количеств амёб:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.25$ - 0 (умерает с самого начала)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{0.25}^{2} + 0.5*2*{0.25}^{2}$ - 1 (выживает, выживает) или (разделяется на две и из двух одна выживает и одна умирает)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.5*{0.25}^{2} + 0.25*0.5$ - 2 (разделяется на две и обе выживают), (выживает и расделяется на две)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.5*2*0.25*0.5$ - 3 (разделяется на две, одна выживает, одна умирает)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{0.5}^{3}$ - 4 (разделяется на две и эти две тоже расделяются на две)

Верно? Если да, то что дальше?

zer0mail · 13.11.2017, 14:17

Расчеты надо доводить до чисел (0 точно неверно посчитан). А дальше пишете полином $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x4)^n$ и раскрываете скобки. Матпакеты делают это на раз для заданного n. Но мне по-прежнему непонятно, какой XXX мог дать такое задание с неопределенным n. Для 10 амеб получается так:

@jogano · 13.11.2017, 14:51

Для одной амёбы такой ряд за два шага:

n	0	1	2	3	4
P(X=n)	0,34375	0,125	0,28125	0,125	0,125

zer0mail · 13.11.2017, 15:17

jogano, согласен. Но хотелось бы, чтобы ТС сам получил эти числа.

@jogano · 13.11.2017, 15:19

Сообщение от zer0mail

А дальше пишете полином

Отличная идея! Как-то не встречал раньше такой формы вычисления для n объектов, в виде полинома. Понравилось.
Можно развить для m моментов времени. Записав вышеприведённый многочлен для количества амёб после первого интервала времени
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F\left(x \right)=0,25+0,25x+0,5x^2$ , раскрываем скобки в
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F\left( F\left(x \right)\right)=0,25+0,25F\left( x\right)+0,5F^2\left(x \right)=0,34375+0,125x+0,28125x^2+0,125x^3+0,125x^4$
чтобы получить вероятности количества одной амёбы после двух интервалов времени. Ну и так далее - сколько промежутков времени - столько вложений.

zer0mail · 13.11.2017, 15:36

Я так в Maple и считал для 2 интервалов: зачем себя напрягать, если есть такие классные инструменты?

Правда, не получилось вывести полином строго по степеням, кое-где порядок нарушается (для 20 амеб, скажем).

@jogano · 13.11.2017, 15:43

Сообщение от zer0mail

Я так в Maple

Маплом не владею, попробую в Матлабе поискать, можно ли так сделать. Действительно, классные инструменты. Узнал сегодня новое - день прошёл не зря.

zer0mail · 13.11.2017, 16:02

Я начал с Mathematica, но там синтаксис неудобный, в Maple проще и наглядней и мои потребности в математических/физических расчетах и моделировании она покрывает с большим запасом. Полиномы, матрицы (произведения, обратные, собственные ветора), интегралы, дифуры (обычные и частные), системы уравнений и многое-многое другое. Плюс рисует 2D и 3D графики. Если что-то непонятно, всегда можно спросить (тут VSI здорово помогает) да и инете много полезной информации с примерами.

А как Maple считает факториалы или гармонический ряд... Писал на C++ - это минуты или часы, а она выводит махом! КАК?!
Я бы в научно-технических вузах и университетах ввел обязательный курс по Maple.

Байт · 13.11.2017, 23:08

Сообщение от zer0mail

Я бы в научно-технических вузах и университетах ввел обязательный курс по Maple.

Не-а. Вот узнать, как она это делает - действительно интересно. Ну, длинную арихметику можно хорошую сделать, не по символам (утеха новичков!), а в 2³²-ичной с/с. Стирлинг? - не точен. Может, таблицы промежуточных значений, а?

Добавлено через 8 минут

Сообщение от Байт

таблицы промежуточных значений, а?

Да, и правда. Делов-то! База данных. Тем более, нулей-то можно не хранить. Их количество линейным образом вычисляется...

Добавлено через 10 минут

Сообщение от Байт

нулей-то можно не хранить.

Одна дурацкая идея тут же тащит за собой другую. А при чем тут нули? Нужна факторизация! Первую тысячу простых храним. Сколько их надо для данного факториала - линейно считается. Возводить в степень (делением пополам, рекурсивно) - одно удовольствие. И остаются маленькие мелочи...
Только вы не подумайте, что я собираюсь обгонять робота. Так мысли вслух...
Но именно таким мыслям, имхо, и следует учить

Сообщение от zer0mail

в научно-технических вузах и университетах

А на кнопочку нажать - ума особо не прибавит (правда, надо еще знать - на какую

)

zer0mail · 13.11.2017, 23:21

Сообщение от Байт

А на кнопочку нажать - ума особо не прибавит

Это смотря кто и с какой целью нажимает.

Байт · 13.11.2017, 23:54

oobarbazanoo, А за задачку - спасибо! Казалось бы - ну, амебы, ну - размножаются (кстати, любопытненькая такая экологическая модель, сюда бы еще товарища Мальтуса присобачить...), а сколько инересных вещей по этому поводу было узнано!) Нет, это все в коллекцию...

В защиту Оффтопа

@jogano · 14.11.2017, 00:05

Сообщение от Байт

а сколько инересных вещей по этому поводу было узнано!)

Да, и написано четыре функции на Матлабе - произведение двух многочленов, натуральная степень многочлена, суперпозиция двух многочленов в порядке возрастания степеней и в порядке убывания степеней (эти два случая по одним формулам не считаются, как оказалось, а произведение считается не зависимо от того, даны ли векторы коэффициентов в порядке убывания степеней или в порядке возрастания). Хотя, как выяснилось позже, в Матлабе уже есть встроенная функция conv произведения многочленов

.

@oobarbazanoo · 14.11.2017, 20:11 **[ТС]**

zer0mail, объясните, пожалуйста, суть этого полинома. Что такое x?

Добавлено через 19 минут
Если x - количество амёб, а F(x) - вероятность того, что x амёб будут живы через один промежуток времени, то F(1) = 1. Значит одна амёба полюбому бедт жива и что-то не то выходит.

Добавлено через 6 минут
jogano, как Вы понимаете этот многочлен?

zer0mail · 14.11.2017, 20:34

Эта формула аналогична формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p*x+q)^n$ . Пусть p - вероятность успеха в одном испытании. Какова вероятность k успехов в n испытаниях? Это коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^k$ в разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (p*x+q)^n$ (формула Бернулли), проверьте для n=2,3... Аналогично, вероятность что останется k амеб (k успехов) - коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^k$ в разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)^n$ , где n - количество испытаний (начальное количество амеб).

Байт · 14.11.2017, 20:43

Сообщение от oobarbazanoo

суть этого полинома

Это производящая функция. (слыхал про такого зверя?)
Суть его в том, что коэффициент при x^k - вероятность того, что останется ровно k амеб. Потому-то сумма коэффициентов всегда = 1

Сообщение от oobarbazanoo

Что такое x?

Ничего. Буковка такая

Но представление задачи в виде производящей функции позволяет делать кой-какие хитрые манипуляции...

@jogano · 14.11.2017, 21:32

Сообщение от oobarbazanoo

jogano, как Вы понимаете этот многочлен?

Как применение формальных математических операций для вычисления нужного результата.
У вас есть 2 амёбы, которые через какое-то время размножились или вымерли. И из первой амёбы образовалось 5 с вероятностью 0,1, а из второй амёбы 3 с вероятностью 0,2 (и другие количества с другими вероятностями).
И вот вам нужно узнать, сколько в сумме потомков будет от этих двух амёб через этот промежуток времени. Рассмотрев именно эти два варианта, вы имеете 5+3=8 потомков от двух амёб с вероятностью 0,1*0,2=0,02. Т.е. арифметические операции с вероятностями и количествами будут те же, что и при умножении одночленов: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0,1x^5 \cdot 0,2x^3=0,02x^8$
Возможно, есть и другие комбинации количеств потомком обеих амёб, которые тоже в сумме дают 8 потомков. Формально это означает, что нужно свести подобны слагаемые при других произведениях двух одночленов со степенью 8 при х.
Тут х - просто буква, она не несёт вероятностного смысла.
Это всё означает, что если от первой амёбы через 1 промежуток времени есть 0, 1 или 2 потомка с вероятностями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?p_0, p_1, p_2$ , а от второй амёбы 0, 1, 2, 3, 4 потомка с вероятностями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ , то чтобы получить вероятность определённого количества потомков двух амёб (скажем, 4 штуки), нужно формально умножить два многочлена $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( p_0+p_1x+p_2x^2\right)\left( q_0+q_1x+q_2x^2+q_3x^3+q_4x^4\right)$ и посмотреть коэффициент результата при х⁴. Сила в том, что вы делаете формальную операцию умножения многочленов, которую можно автоматизировать, чтобы получить результат, так как правила для получения результата совпадают с формальными правилами операции с многочленами - умножить коэффициенты (вероятности) двух одночленов, сложить их степени (количества), найти другие одночлены с такой же степенью при х и сложить эти коэффициенты (объединить все случаи, когда сумма потомков от двух амёб будет одним и тем же). Вот и всё.

zer0mail · 14.11.2017, 22:06

Мне чет лень было так подробно расписывать.

@jogano · 14.11.2017, 22:11

zer0mail, 10-пальцевый слепой набор позволяет развернуться

. Тренажёр Stamina (на правах рекламы).

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Задача про амёбу 12.11.2017, 16:27. Показов 8490. Ответов 37 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как решить следующую задачу. Имеем промежуток времени за который амёба может умереть с веротяностью 0.25, выжить с вероятностью 0.25 и разделиться на две с вероятностью 0.5. В следующий промежуток времени с каждой амёбой происходит то же самое. Сколько амёб и с какой вероятностью через два промежутка времени, если перед этим было n амёб? Единственное что приходит на ум, так это рассмотреть сначала всех n амёб и для каждой выполнить выживание, смерть и разделение на две, потом для полученных результатов сделать в каждом случае всё то же самое. Но это очень уж громоздко. Есть ли другое решение? 1

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	12.11.2017, 22:01
	Для начала разберитесь с 1 амебой и заодно с условием. Нет простой формулы для распределения количества амеб при произвольном n. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	13.11.2017, 13:24 [ТС]
	zer0mail, если у нас одна амёба, то через два промежутка времени будут такие вероятности количеств амёб: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.25$ - 0 (умерает с самого начала) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{0.25}^{2} + 0.52{0.25}^{2}$ - 1 (выживает, выживает) или (разделяется на две и из двух одна выживает и одна умирает) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.5{0.25}^{2} + 0.250.5$ - 2 (разделяется на две и обе выживают), (выживает и расделяется на две) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0.520.25*0.5$ - 3 (разделяется на две, одна выживает, одна умирает) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{0.5}^{3}$ - 4 (разделяется на две и эти две тоже расделяются на две) Верно? Если да, то что дальше? 0

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	13.11.2017, 14:17
	Расчеты надо доводить до чисел (0 точно неверно посчитан). А дальше пишете полином $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x4)^n$ и раскрываете скобки. Матпакеты делают это на раз для заданного n. Но мне по-прежнему непонятно, какой XXX мог дать такое задание с неопределенным n. Для 10 амеб получается так: Миниатюры 2

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	13.11.2017, 15:17
	jogano, согласен. Но хотелось бы, чтобы ТС сам получил эти числа. 1

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	13.11.2017, 15:36
	Я так в Maple и считал для 2 интервалов: зачем себя напрягать, если есть такие классные инструменты? Правда, не получилось вывести полином строго по степеням, кое-где порядок нарушается (для 20 амеб, скажем). 1

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	13.11.2017, 16:02
	Я начал с Mathematica, но там синтаксис неудобный, в Maple проще и наглядней и мои потребности в математических/физических расчетах и моделировании она покрывает с большим запасом. Полиномы, матрицы (произведения, обратные, собственные ветора), интегралы, дифуры (обычные и частные), системы уравнений и многое-многое другое. Плюс рисует 2D и 3D графики. Если что-то непонятно, всегда можно спросить (тут VSI здорово помогает) да и инете много полезной информации с примерами. А как Maple считает факториалы или гармонический ряд... Писал на C++ - это минуты или часы, а она выводит махом! КАК?! Я бы в научно-технических вузах и университетах ввел обязательный курс по Maple. 2

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	13.11.2017, 23:54
	oobarbazanoo, А за задачку - спасибо! Казалось бы - ну, амебы, ну - размножаются (кстати, любопытненькая такая экологическая модель, сюда бы еще товарища Мальтуса присобачить...), а сколько инересных вещей по этому поводу было узнано!) Нет, это все в коллекцию... В защиту Оффтопа 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	14.11.2017, 20:11 [ТС]
	zer0mail, объясните, пожалуйста, суть этого полинома. Что такое x? Добавлено через 19 минут Если x - количество амёб, а F(x) - вероятность того, что x амёб будут живы через один промежуток времени, то F(1) = 1. Значит одна амёба полюбому бедт жива и что-то не то выходит. Добавлено через 6 минут jogano, как Вы понимаете этот многочлен? 0

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	14.11.2017, 20:34
	Эта формула аналогична формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (px+q)^n$ . Пусть p - вероятность успеха в одном испытании. Какова вероятность k успехов в n испытаниях? Это коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^k$ в разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (px+q)^n$ (формула Бернулли), проверьте для n=2,3... Аналогично, вероятность что останется k амеб (k успехов) - коэффициент при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^k$ в разложении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)^n$ , где n - количество испытаний (начальное количество амеб). 1

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	14.11.2017, 22:06
	Мне чет лень было так подробно расписывать. 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.11.2017, 22:11
	zer0mail, 10-пальцевый слепой набор позволяет развернуться . Тренажёр Stamina (на правах рекламы). 2