Найти плотность распределения случайной величины

@Astus · Регистрация: 26.04.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Как решать такую задачу? Правильно ли сделал?

Условие:
Случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ распределена равномерно на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0; \pi \right)$ . Найти плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta = cos\xi$ .

Вот, что получилось у меня. Правильно ли решал?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta }(y)=P(cos\xi < y)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos\xi < y$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi < arccos (y)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta }(y)=\frac{arccos(y)}{\pi }$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{\eta }={F'}_{\eta }(y)=(\frac{arccos(y)}{\pi })'=\frac{1}{\pi }*(-\frac{1}{\sqrt{1-{y}^{2}}})$

Всем заранее спасибо!

@jogano · 09.01.2019, 13:24

Всё тот же 10-й класс школы - решение тригонометрического неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \xi <y$ у вас не правильное.
Вспомните тригонометрический круг, как на нём в школе решали элементарные триг. неравенства, что синус (как в другой вашей задаче), что косинус.
В результате ваша $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\eta \left(y \right)$ с ростом y от -1 до 1 убывает от 1 до 0 (а должна возрастать), и плотность распределения отрицательная, чего быть не может.
Видите, как пробелы в школе вылазят вам боком?

@Astus · 09.01.2019, 14:03 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos\xi <y$
-1<y<1
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi =+- arccos(y)+2\pi k$

Добавлено через 5 минут
??
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi \in (\frac{\pi }{2}+\pi k; arccos(y))$

@jogano · 09.01.2019, 14:21

Первое - это решение уравнения (правильное), а у вас неравенство.
Добавленное - сектор для кси повторяется через 2П, а не через П, и одинаковое количество раз прибавляется к каждому концу интервала. Но вам период не нужен, у вас же кси находится на конкретном интервале (0;П).
Прочитайте здесь, как выглядит на круге решение вашего неравенства (Утверждение 4), а для синуса из другой вашей задачи Утверждение 2.

@Fedorys · 09.01.2019, 14:31

Посмотрите на график арккосинуса и глядя на него выпишете корректное решение неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y<\arccos(x)$ . При каких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ неравенство будет выполнено? Красная линия - это график $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi = y$

Найти плотность распределения случайной величины

@Astus · 09.01.2019, 15:30 **[ТС]**

Сообщение от jogano

у вас неравенство.

Надеюсь, так?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi \in (arccos(y); \pi)$

@jogano · 09.01.2019, 16:26

Наконец-то правильно...

@Astus · 09.01.2019, 18:16 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Наконец-то правильно...

Если до конца, то так?)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta }(y)=\frac{\pi -arccos(y)}{\pi }$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{\eta }(y)={F}_{\eta }'(y)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-{y}^{2}}}$

@jogano · 09.01.2019, 18:20

Именно. Ещё диапазон y указывают: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_\eta \left(y \right)=\left[0, \: y \notin \left(-1;1 \right)\\\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}, \: y \in \left(-1;1 \right) \right.$

@eropegov · 10.01.2019, 14:18

jogano, спрошу ради интереса: откуда у вас эта квадратная скобка вместо привычной фигурной?

@jogano · 10.01.2019, 14:45

Смысл фигурной скобки - пересечение множеств, а квадратной - объединение. Так как интервалы по y не пересекаются, то поставив фигурную скобку, получаем пустое множество значений плотности распределения для всех значений y. А здесь нужно как раз объединение непересекающихся вариантов.
Да, обычно пишут фигурную скобку. Почему-то.

Добавлено через 9 минут
Что получится в результате решения такой системы (если писать фигурную скобку), если множества 1 и 3 не пересекаются?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ \left{ y \notin \left(-1;1 \right)\\f_\eta \left(y \right)=0 \right.\\\left{ y \in \left(-1;1 \right)\\f_\eta \left(y \right)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}} \right. \right.$

@eropegov · 10.01.2019, 15:10

Сообщение от jogano

обычно пишут фигурную скобку. Почему-то.

Потому что фигурная скобка - это не пересечение множеств, а конъюнкция. Для системы уравнений это конъюнкция предикатов, которую действительно можно интерпретировать как пересечение множеств истинности, а вот для кусочно задаваемой функции это конъюнкция импликаций: запись
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> f(x) = \left\{\begin{matrix}<br /> 0, & x<0 \\ 1, & x\ge 0<br /> \end{matrix}\right.<br />$
означает ровно следующее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left((x<0) \to (f(x)=0)\right) \wedge \left((x\ge 0) \to (f(x)=1)\right).$
И всё тут получается правильно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .

@Astus 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.04.2018 Сообщений: 93

	Найти плотность распределения случайной величины 09.01.2019, 13:17. Показов 1815. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Добрый день. Как решать такую задачу? Правильно ли сделал? Условие: Случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ распределена равномерно на интервале $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(0; \pi \right)$ . Найти плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta = cos\xi$ . Вот, что получилось у меня. Правильно ли решал? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta }(y)=P(cos\xi < y)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos\xi < y$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi < arccos (y)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta }(y)=\frac{arccos(y)}{\pi }$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{\eta }={F'}_{\eta }(y)=(\frac{arccos(y)}{\pi })'=\frac{1}{\pi }*(-\frac{1}{\sqrt{1-{y}^{2}}})$ Всем заранее спасибо! 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2019, 13:24
	Всё тот же 10-й класс школы - решение тригонометрического неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos \xi <y$ у вас не правильное. Вспомните тригонометрический круг, как на нём в школе решали элементарные триг. неравенства, что синус (как в другой вашей задаче), что косинус. В результате ваша $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\eta \left(y \right)$ с ростом y от -1 до 1 убывает от 1 до 0 (а должна возрастать), и плотность распределения отрицательная, чего быть не может. Видите, как пробелы в школе вылазят вам боком? 0

@Astus 0 / 0 / 0 Регистрация: 26.04.2018 Сообщений: 93
	09.01.2019, 14:03 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos\xi <y$ -1<y<1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi =+- arccos(y)+2\pi k$ Добавлено через 5 минут ?? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi \in (\frac{\pi }{2}+\pi k; arccos(y))$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2019, 14:21
	Первое - это решение уравнения (правильное), а у вас неравенство. Добавленное - сектор для кси повторяется через 2П, а не через П, и одинаковое количество раз прибавляется к каждому концу интервала. Но вам период не нужен, у вас же кси находится на конкретном интервале (0;П). Прочитайте здесь, как выглядит на круге решение вашего неравенства (Утверждение 4), а для синуса из другой вашей задачи Утверждение 2. 0

@Fedorys 496 / 204 / 18 Регистрация: 19.03.2013 Сообщений: 463
	09.01.2019, 14:31
	Посмотрите на график арккосинуса и глядя на него выпишете корректное решение неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y<\arccos(x)$ . При каких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ неравенство будет выполнено? Красная линия - это график $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi = y$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2019, 16:26
	Наконец-то правильно... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	09.01.2019, 18:20
	Именно. Ещё диапазон y указывают: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_\eta \left(y \right)=\left[0, \: y \notin \left(-1;1 \right)\\\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}}, \: y \in \left(-1;1 \right) \right.$ 1

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	10.01.2019, 14:18
	jogano, спрошу ради интереса: откуда у вас эта квадратная скобка вместо привычной фигурной? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	10.01.2019, 14:45
	Смысл фигурной скобки - пересечение множеств, а квадратной - объединение. Так как интервалы по y не пересекаются, то поставив фигурную скобку, получаем пустое множество значений плотности распределения для всех значений y. А здесь нужно как раз объединение непересекающихся вариантов. Да, обычно пишут фигурную скобку. Почему-то. Добавлено через 9 минут Что получится в результате решения такой системы (если писать фигурную скобку), если множества 1 и 3 не пересекаются? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{ \left{ y \notin \left(-1;1 \right)\\f_\eta \left(y \right)=0 \right.\\\left{ y \in \left(-1;1 \right)\\f_\eta \left(y \right)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-y^2}} \right. \right.$ 0