В круг единичного радиуса наудачу бросается точка

@Algamon · Регистрация: 21.06.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В круг единичного радиуса наудачу бросается точка. Найти функцию распределения проекции этой точки на фиксированную ось, проходящую через центр круга. Найти плотность распределения.

Собственно, я пытаюсь решать с помощью формулы геометрической вероятности, у меня в формуле получается площадь обрезанного круга (т.к ε<x) поделенная на площадь полного круга. Вот только я понять не могу, как работать с проекцией точки на фиксированную ось. Подскажите решение.

@rahim · 21.06.2013, 22:59

Круг круглый, поэтому нет разницы, какая это ось. Возьмите ось абсцисс.

@Algamon · 21.06.2013, 23:07 **[ТС]**

Да это то понятно. Как мне связать проекцию точки на ось и функцию распределения? Я точек соприкосновения не вижу.

@algebraist · 21.06.2013, 23:18

Сообщение от Algamon

Собственно, я пытаюсь решать с помощью формулы геометрической вероятности, у меня в формуле получается площадь обрезанного круга (т.к ε<x) поделенная на площадь полного круга.

Вот так связать.

@Algamon · 21.06.2013, 23:23 **[ТС]**

Ну, площадь полного круга равна πR^2. А как рассчитать площадь обрезанного круга? Ведь он может быть обрезан как угодно, в зависимости от того, куда упала точка.

Байт · 21.06.2013, 23:38

Вероятность попадания точки в часть круга, отрезанную хордой x (левая часть) F(x) = площади отрезанной части / на площадь круга. Отсюда и пляши.

Добавлено через 54 секунды
Вырази отрезанную площадь через x

@Algamon · 21.06.2013, 23:45 **[ТС]**

Сообщение от Байт

Вероятность попадания точки в часть круга, отрезанную хордой x (левая часть) F(x) = площади отрезанной части / на площадь круга. Отсюда и пляши.

Добавлено через 54 секунды
Вырази отрезанную площадь через x

Вы невнимательно условие прочитали. Мы точку кидаем не в часть круга, а в весь круг. И потом находим плотность и закон распределения для её проекции на любую ось проходящую через центр круга.
Из условия только радиус круга дан. Как мы можем связать проекцию точки с законом распределения?

@rahim · 21.06.2013, 23:50

Да при чем тут упавшая точка? Функция распределения зависит от переменной х. Вы написали, как зависит: проекция точки должна лежать слева от х. Вот по этому значению х и отрезается ненужный сегмент от круга.
Формулу площади сегмента поищите готовую - что-то вроде 0,5(θ- sinθ), где θ - центральный угол, через х легко выражается (видимо, θ = 2 arccos x), или площадь через интеграл сосчитайте - от верхней границы круга до нижней, в пределах от -1 до х.

Байт · 21.06.2013, 23:58

Сообщение от Algamon

Вы невнимательно условие прочитали

Внимательно, не переживайте.

Сообщение от Algamon

Как мы можем связать проекцию точки с законом распределения?

Это вы неправильно поняли (вернее, совсем не поняли) наводку.
Рекомендую чуток напрячься и подумать.

Добавлено через 7 минут

Сообщение от rahim

Функция распределения зависит от переменной х

Ну вот. А то ходют тут всякие...

@Algamon · 22.06.2013, 00:36 **[ТС]**

Сообщение от rahim

Да при чем тут упавшая точка? Функция распределения зависит от переменной х. Вы написали, как зависит: проекция точки должна лежать слева от х. Вот по этому значению х и отрезается ненужный сегмент от круга.
Формулу площади сегмента поищите готовую - что-то вроде 0,5(θ- sinθ), где θ - центральный угол, через х легко выражается (видимо, θ = 2 arccos x), или площадь через интеграл сосчитайте - от верхней границы круга до нижней, в пределах от -1 до х.

Тогда у нас получается F_ε(x)=P(ε<x)=(∏R²)/(∏R²-0.5R²(2arccos(x)-sin(2arccos(x))))=∏/(∏-arccos(x)+2x(1-x²)^1/2).
Теперь для нахождения плотности находим производную:
F'_ε(x)=∏(-3+4x²)/((1-x²)^1/2(∏+2x(1-x²)^1/2-arccos(x))²)
Както не очень получилось. Боюсь даже представить как для этого считать мат. ожидание и дисперсию.

@algebraist · 22.06.2013, 05:39

Вероятность не бывает больше единицы. Она может быть отношением меньшего к большему, но не наоборот. И двойка лишняя перед $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sqrt{1-x^2}$ .
Математическое ожидание и дисперсия отлично считаются. Среднее, если подумать, и считать не надо, дисперсия - четверть.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .

@Algamon 28 / 28 / 1 Регистрация: 21.06.2013 Сообщений: 192

	В круг единичного радиуса наудачу бросается точка 21.06.2013, 22:47. Показов 9134. Ответов 10 Метки нет (Все метки) В круг единичного радиуса наудачу бросается точка. Найти функцию распределения проекции этой точки на фиксированную ось, проходящую через центр круга. Найти плотность распределения. Собственно, я пытаюсь решать с помощью формулы геометрической вероятности, у меня в формуле получается площадь обрезанного круга (т.к ε<x) поделенная на площадь полного круга. Вот только я понять не могу, как работать с проекцией точки на фиксированную ось. Подскажите решение. 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	21.06.2013, 22:59
	Круг круглый, поэтому нет разницы, какая это ось. Возьмите ось абсцисс. 0

@Algamon 28 / 28 / 1 Регистрация: 21.06.2013 Сообщений: 192
	21.06.2013, 23:07 [ТС]
	Да это то понятно. Как мне связать проекцию точки на ось и функцию распределения? Я точек соприкосновения не вижу. 0

@Algamon 28 / 28 / 1 Регистрация: 21.06.2013 Сообщений: 192
	21.06.2013, 23:23 [ТС]
	Ну, площадь полного круга равна πR^2. А как рассчитать площадь обрезанного круга? Ведь он может быть обрезан как угодно, в зависимости от того, куда упала точка. 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	21.06.2013, 23:38
	Вероятность попадания точки в часть круга, отрезанную хордой x (левая часть) F(x) = площади отрезанной части / на площадь круга. Отсюда и пляши. Добавлено через 54 секунды Вырази отрезанную площадь через x 0

@rahim 619 / 282 / 10 Регистрация: 22.01.2013 Сообщений: 874
	21.06.2013, 23:50
	Да при чем тут упавшая точка? Функция распределения зависит от переменной х. Вы написали, как зависит: проекция точки должна лежать слева от х. Вот по этому значению х и отрезается ненужный сегмент от круга. Формулу площади сегмента поищите готовую - что-то вроде 0,5(θ- sinθ), где θ - центральный угол, через х легко выражается (видимо, θ = 2 arccos x), или площадь через интеграл сосчитайте - от верхней границы круга до нижней, в пределах от -1 до х. 2

@algebraist 26 / 26 / 1 Регистрация: 21.05.2013 Сообщений: 102
	22.06.2013, 05:39
	Вероятность не бывает больше единицы. Она может быть отношением меньшего к большему, но не наоборот. И двойка лишняя перед $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\sqrt{1-x^2}$ . Математическое ожидание и дисперсия отлично считаются. Среднее, если подумать, и считать не надо, дисперсия - четверть. 1